Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70029 / 95859
↖ ↑ ↗
← S 63.688900°
E 12.340393°		 ← 135.38 m → S 63.688900°
E 12.343140°		 →
↑
135.38 m
↓
↑
135.38 m
↓
S 63.690118°
E 12.340393°		 ← 135.37 m →
18 328 m²		 S 63.690118°
E 12.343140°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534282684326172 y=0.731349945068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534282684326172 × 217)
    floor (0.534282684326172 × 131072)
    floor (70029.5)     		tx = 70029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731349945068359 × 217)
    floor (0.731349945068359 × 131072)
    floor (95859.5)     		ty = 95859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70029 / 95859 ti = "17/70029/95859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70029/95859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70029 ÷ 217
    70029 ÷ 131072     		x = 0.534278869628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95859 ÷ 217
    95859 ÷ 131072     		y = 0.731346130371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.534278869628906 × 2 - 1) × π
    0.0685577392578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.21538049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731346130371094 × 2 - 1) × π
    -0.462692260742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.45359060717896
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21538049} λ = 0.21538049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45359060717896))-π/2
    2×atan(0.23372954861926)-π/2
    2×0.229607657700941-π/2
    0.459215315401881-1.57079632675     		φ = -1.11158101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21538049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.340393°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11158101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.688900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70029 KachelY 95859 0.21538049 -1.11158101 12.340393 -63.688900
    Oben rechts KachelX + 1 70030 KachelY 95859 0.21542843 -1.11158101 12.343140 -63.688900
    Unten links KachelX 70029 KachelY + 1 95860 0.21538049 -1.11160226 12.340393 -63.690118
    Unten rechts KachelX + 1 70030 KachelY + 1 95860 0.21542843 -1.11160226 12.343140 -63.690118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11158101--1.11160226) × R
    2.12499999998617e-05 × 6371000     		dl = 135.383749999119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11158101--1.11160226) × R
    2.12499999998617e-05 × 6371000     		dr = 135.383749999119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21538049-0.21542843) × cos(-1.11158101) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.443244853016402 × 6371000     		do = 135.378387233715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21538049-0.21542843) × cos(-1.11160226) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.443225804403997 × 6371000     		du = 135.372569297176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11158101)-sin(-1.11160226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443244853016402-0.443225804403997)×R²
    abs(0.21542843-0.21538049)×1.90486124051481e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.90486124051481e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.90486124051481e-05×40589641000000     		ar = 18327.6399063304m²