Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7002 / 2395
↖ ↑ ↗
← N 77.641246°
W 26.147461°		 ← 522.93 m → N 77.641246°
W 26.125488°		 →
↑
523.06 m
↓
↑
523.06 m
↓
N 77.636542°
W 26.147461°		 ← 523.12 m →
273 573 m²		 N 77.636542°
W 26.125488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427398681640625 y=0.146209716796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427398681640625 × 214)
    floor (0.427398681640625 × 16384)
    floor (7002.5)     		tx = 7002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146209716796875 × 214)
    floor (0.146209716796875 × 16384)
    floor (2395.5)     		ty = 2395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7002 / 2395 ti = "14/7002/2395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7002/2395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7002 ÷ 214
    7002 ÷ 16384     		x = 0.4273681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2395 ÷ 214
    2395 ÷ 16384     		y = 0.14617919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4273681640625 × 2 - 1) × π
    -0.145263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45635928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14617919921875 × 2 - 1) × π
    0.7076416015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.22312165677972
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45635928} λ = -0.45635928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22312165677972))-π/2
    2×atan(9.23611790094764)-π/2
    2×1.46294584689175-π/2
    2.9258916937835-1.57079632675     		φ = 1.35509537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45635928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.147461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35509537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.641246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7002 KachelY 2395 -0.45635928 1.35509537 -26.147461 77.641246
    Oben rechts KachelX + 1 7003 KachelY 2395 -0.45597579 1.35509537 -26.125488 77.641246
    Unten links KachelX 7002 KachelY + 1 2396 -0.45635928 1.35501327 -26.147461 77.636542
    Unten rechts KachelX + 1 7003 KachelY + 1 2396 -0.45597579 1.35501327 -26.125488 77.636542
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35509537-1.35501327) × R
    8.20999999999739e-05 × 6371000     		dl = 523.059099999834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35509537-1.35501327) × R
    8.20999999999739e-05 × 6371000     		dr = 523.059099999834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45635928--0.45597579) × cos(1.35509537) × R
    0.000383489999999986 × 0.214032194073569 × 6371000     		do = 522.926622096676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45635928--0.45597579) × cos(1.35501327) × R
    0.000383489999999986 × 0.214112390816571 × 6371000     		du = 523.122559965288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35509537)-sin(1.35501327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214032194073569-0.214112390816571)×R²
    abs(-0.45597579--0.45635928)×8.01967430019979e-05×R²
    0.000383489999999986×8.01967430019979e-05×6371000²
    0.000383489999999986×8.01967430019979e-05×40589641000000     		ar = 273572.772016346m²