Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7002 / 1703
↖ ↑ ↗
← N 80.506737°
W 26.147461°		 ← 402.96 m → N 80.506737°
W 26.125488°		 →
↑
403.09 m
↓
↑
403.09 m
↓
N 80.503112°
W 26.147461°		 ← 403.12 m →
162 463 m²		 N 80.503112°
W 26.125488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427398681640625 y=0.103973388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427398681640625 × 214)
    floor (0.427398681640625 × 16384)
    floor (7002.5)     		tx = 7002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103973388671875 × 214)
    floor (0.103973388671875 × 16384)
    floor (1703.5)     		ty = 1703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7002 / 1703 ti = "14/7002/1703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7002/1703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7002 ÷ 214
    7002 ÷ 16384     		x = 0.4273681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1703 ÷ 214
    1703 ÷ 16384     		y = 0.10394287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4273681640625 × 2 - 1) × π
    -0.145263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45635928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10394287109375 × 2 - 1) × π
    0.7921142578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.48850033307636
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45635928} λ = -0.45635928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48850033307636))-π/2
    2×atan(12.0432017797228)-π/2
    2×1.4879519767586-π/2
    2.9759039535172-1.57079632675     		φ = 1.40510763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45635928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.147461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40510763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.506737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7002 KachelY 1703 -0.45635928 1.40510763 -26.147461 80.506737
    Oben rechts KachelX + 1 7003 KachelY 1703 -0.45597579 1.40510763 -26.125488 80.506737
    Unten links KachelX 7002 KachelY + 1 1704 -0.45635928 1.40504436 -26.147461 80.503112
    Unten rechts KachelX + 1 7003 KachelY + 1 1704 -0.45597579 1.40504436 -26.125488 80.503112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40510763-1.40504436) × R
    6.32700000000597e-05 × 6371000     		dl = 403.09317000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40510763-1.40504436) × R
    6.32700000000597e-05 × 6371000     		dr = 403.09317000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45635928--0.45597579) × cos(1.40510763) × R
    0.000383489999999986 × 0.164931635143825 × 6371000     		do = 402.963410322263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45635928--0.45597579) × cos(1.40504436) × R
    0.000383489999999986 × 0.164994038331102 × 6371000     		du = 403.11587471236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40510763)-sin(1.40504436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164931635143825-0.164994038331102)×R²
    abs(-0.45597579--0.45635928)×6.24031872768216e-05×R²
    0.000383489999999986×6.24031872768216e-05×6371000²
    0.000383489999999986×6.24031872768216e-05×40589641000000     		ar = 162462.527192413m²