Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 70006 / 97754
↖ ↑ ↗
← S 65.903896°
E 12.277222°		 ← 124.70 m → S 65.903896°
E 12.279968°		 →
↑
124.68 m
↓
↑
124.68 m
↓
S 65.905018°
E 12.277222°		 ← 124.69 m →
15 547 m²		 S 65.905018°
E 12.279968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 70006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.534107208251953 y=0.745807647705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.534107208251953 × 217)
    floor (0.534107208251953 × 131072)
    floor (70006.5)     		tx = 70006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745807647705078 × 217)
    floor (0.745807647705078 × 131072)
    floor (97754.5)     		ty = 97754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 70006 / 97754 ti = "17/70006/97754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/70006/97754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 70006 ÷ 217
    70006 ÷ 131072     		x = 0.534103393554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97754 ÷ 217
    97754 ÷ 131072     		y = 0.745803833007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.534103393554688 × 2 - 1) × π
    0.068206787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.21427794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745803833007812 × 2 - 1) × π
    -0.491607666015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54443103195897
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21427794} λ = 0.21427794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54443103195897))-π/2
    2×atan(0.213433273394116)-π/2
    2×0.210278174381357-π/2
    0.420556348762714-1.57079632675     		φ = -1.15023998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21427794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.277222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15023998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.903896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 70006 KachelY 97754 0.21427794 -1.15023998 12.277222 -65.903896
    Oben rechts KachelX + 1 70007 KachelY 97754 0.21432588 -1.15023998 12.279968 -65.903896
    Unten links KachelX 70006 KachelY + 1 97755 0.21427794 -1.15025955 12.277222 -65.905018
    Unten rechts KachelX + 1 70007 KachelY + 1 97755 0.21432588 -1.15025955 12.279968 -65.905018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15023998--1.15025955) × R
    1.95699999998578e-05 × 6371000     		dl = 124.680469999094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15023998--1.15025955) × R
    1.95699999998578e-05 × 6371000     		dr = 124.680469999094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21427794-0.21432588) × cos(-1.15023998) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.408268384033398 × 6371000     		do = 124.695673311995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21427794-0.21432588) × cos(-1.15025955) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.408250519246999 × 6371000     		du = 124.690216946389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15023998)-sin(-1.15025955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408268384033398-0.408250519246999)×R²
    abs(0.21432588-0.21427794)×1.78647863994796e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.78647863994796e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.78647863994796e-05×40589641000000     		ar = 15546.7750048644m²