Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 700 / 1494
↖ ↑ ↗
← S 63.391522°
W 56.953125°		 ← 8 754.47 m → S 63.391522°
W 56.777344°		 →
↑
8 742.48 m
↓
↑
8 742.48 m
↓
S 63.470145°
W 56.953125°		 ← 8 730.48 m →
76 430 934 m²		 S 63.470145°
W 56.777344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342041015625 y=0.729736328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342041015625 × 211)
    floor (0.342041015625 × 2048)
    floor (700.5)     		tx = 700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729736328125 × 211)
    floor (0.729736328125 × 2048)
    floor (1494.5)     		ty = 1494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 700 / 1494 ti = "11/700/1494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/700/1494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 700 ÷ 211
    700 ÷ 2048     		x = 0.341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1494 ÷ 211
    1494 ÷ 2048     		y = 0.7294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.341796875 × 2 - 1) × π
    -0.31640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.99401955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7294921875 × 2 - 1) × π
    -0.458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44194194057129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99401955} λ = -0.99401955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44194194057129))-π/2
    2×atan(0.236468105509096)-π/2
    2×0.232202777265412-π/2
    0.464405554530824-1.57079632675     		φ = -1.10639077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99401955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10639077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.391522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 700 KachelY 1494 -0.99401955 -1.10639077 -56.953125 -63.391522
    Oben rechts KachelX + 1 701 KachelY 1494 -0.99095159 -1.10639077 -56.777344 -63.391522
    Unten links KachelX 700 KachelY + 1 1495 -0.99401955 -1.10776300 -56.953125 -63.470145
    Unten rechts KachelX + 1 701 KachelY + 1 1495 -0.99095159 -1.10776300 -56.777344 -63.470145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10639077--1.10776300) × R
    0.00137223000000009 × 6371000     		dl = 8742.47733000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10639077--1.10776300) × R
    0.00137223000000009 × 6371000     		dr = 8742.47733000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99401955--0.99095159) × cos(-1.10639077) × R
    0.00306795999999998 × 0.447891396092727 × 6371000     		do = 8754.47320662333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99401955--0.99095159) × cos(-1.10776300) × R
    0.00306795999999998 × 0.446664080450225 × 6371000     		du = 8730.48412801612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10639077)-sin(-1.10776300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447891396092727-0.446664080450225)×R²
    abs(-0.99095159--0.99401955)×0.00122731564250267×R²
    0.00306795999999998×0.00122731564250267×6371000²
    0.00306795999999998×0.00122731564250267×40589641000000     		ar = 76430933.5504455m²