Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6999 / 3639
↖ ↑ ↗
← N 70.207436°
W 26.213379°		 ← 827.33 m → N 70.207436°
W 26.191406°		 →
↑
827.47 m
↓
↑
827.47 m
↓
N 70.199994°
W 26.213379°		 ← 827.63 m →
684 713 m²		 N 70.199994°
W 26.191406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427215576171875 y=0.222137451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427215576171875 × 214)
    floor (0.427215576171875 × 16384)
    floor (6999.5)     		tx = 6999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222137451171875 × 214)
    floor (0.222137451171875 × 16384)
    floor (3639.5)     		ty = 3639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6999 / 3639 ti = "14/6999/3639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6999/3639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6999 ÷ 214
    6999 ÷ 16384     		x = 0.42718505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3639 ÷ 214
    3639 ÷ 16384     		y = 0.22210693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42718505859375 × 2 - 1) × π
    -0.1456298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45750977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22210693359375 × 2 - 1) × π
    0.5557861328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.74605363176093
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45750977} λ = -0.45750977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74605363176093))-π/2
    2×atan(5.73193764646809)-π/2
    2×1.39807361962113-π/2
    2.79614723924225-1.57079632675     		φ = 1.22535091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45750977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.213379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22535091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.207436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6999 KachelY 3639 -0.45750977 1.22535091 -26.213379 70.207436
    Oben rechts KachelX + 1 7000 KachelY 3639 -0.45712627 1.22535091 -26.191406 70.207436
    Unten links KachelX 6999 KachelY + 1 3640 -0.45750977 1.22522103 -26.213379 70.199994
    Unten rechts KachelX + 1 7000 KachelY + 1 3640 -0.45712627 1.22522103 -26.191406 70.199994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22535091-1.22522103) × R
    0.000129880000000027 × 6371000     		dl = 827.46548000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22535091-1.22522103) × R
    0.000129880000000027 × 6371000     		dr = 827.46548000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45750977--0.45712627) × cos(1.22535091) × R
    0.000383499999999981 × 0.338615814497333 × 6371000     		do = 827.332739321281m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45750977--0.45712627) × cos(1.22522103) × R
    0.000383499999999981 × 0.3387380189437 × 6371000     		du = 827.631318817695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22535091)-sin(1.22522103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338615814497333-0.3387380189437)×R²
    abs(-0.45712627--0.45750977)×0.000122204446367513×R²
    0.000383499999999981×0.000122204446367513×6371000²
    0.000383499999999981×0.000122204446367513×40589641000000     		ar = 684712.815337671m²