Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6999 / 3626
↖ ↑ ↗
← N 70.303933°
W 26.213379°		 ← 823.46 m → N 70.303933°
W 26.191406°		 →
↑
823.64 m
↓
↑
823.64 m
↓
N 70.296526°
W 26.213379°		 ← 823.76 m →
678 359 m²		 N 70.296526°
W 26.191406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427215576171875 y=0.221343994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427215576171875 × 214)
    floor (0.427215576171875 × 16384)
    floor (6999.5)     		tx = 6999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221343994140625 × 214)
    floor (0.221343994140625 × 16384)
    floor (3626.5)     		ty = 3626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6999 / 3626 ti = "14/6999/3626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6999/3626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6999 ÷ 214
    6999 ÷ 16384     		x = 0.42718505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3626 ÷ 214
    3626 ÷ 16384     		y = 0.2213134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42718505859375 × 2 - 1) × π
    -0.1456298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45750977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2213134765625 × 2 - 1) × π
    0.557373046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.75103906932141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45750977} λ = -0.45750977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75103906932141))-π/2
    2×atan(5.76058521470123)-π/2
    2×1.39891571656648-π/2
    2.79783143313296-1.57079632675     		φ = 1.22703511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45750977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.213379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22703511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.303933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6999 KachelY 3626 -0.45750977 1.22703511 -26.213379 70.303933
    Oben rechts KachelX + 1 7000 KachelY 3626 -0.45712627 1.22703511 -26.191406 70.303933
    Unten links KachelX 6999 KachelY + 1 3627 -0.45750977 1.22690583 -26.213379 70.296526
    Unten rechts KachelX + 1 7000 KachelY + 1 3627 -0.45712627 1.22690583 -26.191406 70.296526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22703511-1.22690583) × R
    0.00012928000000012 × 6371000     		dl = 823.642880000767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22703511-1.22690583) × R
    0.00012928000000012 × 6371000     		dr = 823.642880000767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45750977--0.45712627) × cos(1.22703511) × R
    0.000383499999999981 × 0.337030629584991 × 6371000     		do = 823.459691106432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45750977--0.45712627) × cos(1.22690583) × R
    0.000383499999999981 × 0.337152343071512 × 6371000     		du = 823.757071051209m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22703511)-sin(1.22690583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337030629584991-0.337152343071512)×R²
    abs(-0.45712627--0.45750977)×0.000121713486521235×R²
    0.000383499999999981×0.000121713486521235×6371000²
    0.000383499999999981×0.000121713486521235×40589641000000     		ar = 678359.179929555m²