Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69984 / 97631
↖ ↑ ↗
← S 65.765599°
E 12.216797°		 ← 125.37 m → S 65.765599°
E 12.219544°		 →
↑
125.38 m
↓
↑
125.38 m
↓
S 65.766727°
E 12.216797°		 ← 125.36 m →
15 718 m²		 S 65.766727°
E 12.219544°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533939361572266 y=0.744869232177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533939361572266 × 217)
    floor (0.533939361572266 × 131072)
    floor (69984.5)     		tx = 69984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744869232177734 × 217)
    floor (0.744869232177734 × 131072)
    floor (97631.5)     		ty = 97631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69984 / 97631 ti = "17/69984/97631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69984/97631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69984 ÷ 217
    69984 ÷ 131072     		x = 0.533935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97631 ÷ 217
    97631 ÷ 131072     		y = 0.744865417480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533935546875 × 2 - 1) × π
    0.06787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.21322333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744865417480469 × 2 - 1) × π
    -0.489730834960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.5385347933057
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21322333} λ = 0.21322333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5385347933057))-π/2
    2×atan(0.214695444284312)-π/2
    2×0.211485042173145-π/2
    0.422970084346291-1.57079632675     		φ = -1.14782624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21322333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.216797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14782624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.765599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69984 KachelY 97631 0.21322333 -1.14782624 12.216797 -65.765599
    Oben rechts KachelX + 1 69985 KachelY 97631 0.21327127 -1.14782624 12.219544 -65.765599
    Unten links KachelX 69984 KachelY + 1 97632 0.21322333 -1.14784592 12.216797 -65.766727
    Unten rechts KachelX + 1 69985 KachelY + 1 97632 0.21327127 -1.14784592 12.219544 -65.766727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14782624--1.14784592) × R
    1.96799999998554e-05 × 6371000     		dl = 125.381279999079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14782624--1.14784592) × R
    1.96799999998554e-05 × 6371000     		dr = 125.381279999079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21322333-0.21327127) × cos(-1.14782624) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.410470603965666 × 6371000     		do = 125.368287964523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21322333-0.21327127) × cos(-1.14784592) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.410452658209189 × 6371000     		du = 125.362806868572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14782624)-sin(-1.14784592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410470603965666-0.410452658209189)×R²
    abs(0.21327127-0.21322333)×1.79457564767893e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.79457564767893e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.79457564767893e-05×40589641000000     		ar = 15718.4928033402m²