Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69983 / 96735
↖ ↑ ↗
← S 64.735469°
E 12.214050°		 ← 130.36 m → S 64.735469°
E 12.216797°		 →
↑
130.35 m
↓
↑
130.35 m
↓
S 64.736641°
E 12.214050°		 ← 130.35 m →
16 992 m²		 S 64.736641°
E 12.216797°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533931732177734 y=0.738033294677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533931732177734 × 217)
    floor (0.533931732177734 × 131072)
    floor (69983.5)     		tx = 69983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738033294677734 × 217)
    floor (0.738033294677734 × 131072)
    floor (96735.5)     		ty = 96735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69983 / 96735 ti = "17/69983/96735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69983/96735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69983 ÷ 217
    69983 ÷ 131072     		x = 0.533927917480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96735 ÷ 217
    96735 ÷ 131072     		y = 0.738029479980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533927917480469 × 2 - 1) × π
    0.0678558349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.21317539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738029479980469 × 2 - 1) × π
    -0.476058959960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.49558333124613
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21317539} λ = 0.21317539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49558333124613))-π/2
    2×atan(0.224117831658212)-π/2
    2×0.220474623355972-π/2
    0.440949246711945-1.57079632675     		φ = -1.12984708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21317539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.214050°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12984708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.735469°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69983 KachelY 96735 0.21317539 -1.12984708 12.214050 -64.735469
    Oben rechts KachelX + 1 69984 KachelY 96735 0.21322333 -1.12984708 12.216797 -64.735469
    Unten links KachelX 69983 KachelY + 1 96736 0.21317539 -1.12986754 12.214050 -64.736641
    Unten rechts KachelX + 1 69984 KachelY + 1 96736 0.21322333 -1.12986754 12.216797 -64.736641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12984708--1.12986754) × R
    2.04599999999999e-05 × 6371000     		dl = 130.350659999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12984708--1.12986754) × R
    2.04599999999999e-05 × 6371000     		dr = 130.350659999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21317539-0.21322333) × cos(-1.12984708) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.426798105652999 × 6371000     		do = 130.355127249655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21317539-0.21322333) × cos(-1.12986754) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.4267796026254 × 6371000     		du = 130.349475948759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12984708)-sin(-1.12986754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426798105652999-0.4267796026254)×R²
    abs(0.21322333-0.21317539)×1.85030275993703e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85030275993703e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85030275993703e-05×40589641000000     		ar = 16991.5085465812m²