Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69982 / 97635
↖ ↑ ↗
← S 65.770108°
E 12.211304°		 ← 125.32 m → S 65.770108°
E 12.214050°		 →
↑
125.38 m
↓
↑
125.38 m
↓
S 65.771236°
E 12.211304°		 ← 125.31 m →
15 712 m²		 S 65.771236°
E 12.214050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533924102783203 y=0.744899749755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533924102783203 × 217)
    floor (0.533924102783203 × 131072)
    floor (69982.5)     		tx = 69982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744899749755859 × 217)
    floor (0.744899749755859 × 131072)
    floor (97635.5)     		ty = 97635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69982 / 97635 ti = "17/69982/97635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69982/97635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69982 ÷ 217
    69982 ÷ 131072     		x = 0.533920288085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97635 ÷ 217
    97635 ÷ 131072     		y = 0.744895935058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533920288085938 × 2 - 1) × π
    0.067840576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.21312746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744895935058594 × 2 - 1) × π
    -0.489791870117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.53872654090418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21312746} λ = 0.21312746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53872654090418))-π/2
    2×atan(0.214654280895083)-π/2
    2×0.211445692237382-π/2
    0.422891384474765-1.57079632675     		φ = -1.14790494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21312746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.211304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14790494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.770108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69982 KachelY 97635 0.21312746 -1.14790494 12.211304 -65.770108
    Oben rechts KachelX + 1 69983 KachelY 97635 0.21317539 -1.14790494 12.214050 -65.770108
    Unten links KachelX 69982 KachelY + 1 97636 0.21312746 -1.14792462 12.211304 -65.771236
    Unten rechts KachelX + 1 69983 KachelY + 1 97636 0.21317539 -1.14792462 12.214050 -65.771236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14790494--1.14792462) × R
    1.96799999998554e-05 × 6371000     		dl = 125.381279999079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14790494--1.14792462) × R
    1.96799999998554e-05 × 6371000     		dr = 125.381279999079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21312746-0.21317539) × cos(-1.14790494) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.410398838224093 × 6371000     		do = 125.320222349755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21312746-0.21317539) × cos(-1.14792462) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.410380891831942 × 6371000     		du = 125.314742203016m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14790494)-sin(-1.14792462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410398838224093-0.410380891831942)×R²
    abs(0.21317539-0.21312746)×1.79463921507472e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.79463921507472e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.79463921507472e-05×40589641000000     		ar = 15712.4663346196m²