Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6998 / 2400
↖ ↑ ↗
← N 77.617709°
W 26.235352°		 ← 523.92 m → N 77.617709°
W 26.213379°		 →
↑
524.01 m
↓
↑
524.01 m
↓
N 77.612996°
W 26.235352°		 ← 524.12 m →
274 594 m²		 N 77.612996°
W 26.213379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427154541015625 y=0.146514892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427154541015625 × 214)
    floor (0.427154541015625 × 16384)
    floor (6998.5)     		tx = 6998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146514892578125 × 214)
    floor (0.146514892578125 × 16384)
    floor (2400.5)     		ty = 2400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6998 / 2400 ti = "14/6998/2400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6998/2400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6998 ÷ 214
    6998 ÷ 16384     		x = 0.4271240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2400 ÷ 214
    2400 ÷ 16384     		y = 0.146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4271240234375 × 2 - 1) × π
    -0.145751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45789327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146484375 × 2 - 1) × π
    0.70703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22120418079492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45789327} λ = -0.45789327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22120418079492))-π/2
    2×atan(9.21842483511521)-π/2
    2×1.4627404538038-π/2
    2.9254809076076-1.57079632675     		φ = 1.35468458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45789327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.235352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35468458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.617709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6998 KachelY 2400 -0.45789327 1.35468458 -26.235352 77.617709
    Oben rechts KachelX + 1 6999 KachelY 2400 -0.45750977 1.35468458 -26.213379 77.617709
    Unten links KachelX 6998 KachelY + 1 2401 -0.45789327 1.35460233 -26.235352 77.612996
    Unten rechts KachelX + 1 6999 KachelY + 1 2401 -0.45750977 1.35460233 -26.213379 77.612996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35468458-1.35460233) × R
    8.22499999999504e-05 × 6371000     		dl = 524.014749999684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35468458-1.35460233) × R
    8.22499999999504e-05 × 6371000     		dr = 524.014749999684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45789327--0.45750977) × cos(1.35468458) × R
    0.000383500000000037 × 0.214433446605324 × 6371000     		do = 523.920629771737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45789327--0.45750977) × cos(1.35460233) × R
    0.000383500000000037 × 0.214513782629935 × 6371000     		du = 524.116913053443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35468458)-sin(1.35460233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214433446605324-0.214513782629935)×R²
    abs(-0.45750977--0.45789327)×8.03360246103557e-05×R²
    0.000383500000000037×8.03360246103557e-05×6371000²
    0.000383500000000037×8.03360246103557e-05×40589641000000     		ar = 274593.565651629m²