Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69977 / 96713
↖ ↑ ↗
← S 64.709668°
E 12.197571°		 ← 130.48 m → S 64.709668°
E 12.200317°		 →
↑
130.48 m
↓
↑
130.48 m
↓
S 64.710841°
E 12.197571°		 ← 130.47 m →
17 024 m²		 S 64.710841°
E 12.200317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69977 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533885955810547 y=0.737865447998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533885955810547 × 217)
    floor (0.533885955810547 × 131072)
    floor (69977.5)     		tx = 69977
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737865447998047 × 217)
    floor (0.737865447998047 × 131072)
    floor (96713.5)     		ty = 96713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69977 / 96713 ti = "17/69977/96713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69977/96713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69977 ÷ 217
    69977 ÷ 131072     		x = 0.533882141113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96713 ÷ 217
    96713 ÷ 131072     		y = 0.737861633300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533882141113281 × 2 - 1) × π
    0.0677642822265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.21288777
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737861633300781 × 2 - 1) × π
    -0.475723266601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.49452871945449
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21288777} λ = 0.21288777}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49452871945449))-π/2
    2×atan(0.224354313642623)-π/2
    2×0.220699783860417-π/2
    0.441399567720834-1.57079632675     		φ = -1.12939676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21288777} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.197571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12939676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.709668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69977 KachelY 96713 0.21288777 -1.12939676 12.197571 -64.709668
    Oben rechts KachelX + 1 69978 KachelY 96713 0.21293571 -1.12939676 12.200317 -64.709668
    Unten links KachelX 69977 KachelY + 1 96714 0.21288777 -1.12941724 12.197571 -64.710841
    Unten rechts KachelX + 1 69978 KachelY + 1 96714 0.21293571 -1.12941724 12.200317 -64.710841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12939676--1.12941724) × R
    2.04799999998784e-05 × 6371000     		dl = 130.478079999225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12939676--1.12941724) × R
    2.04799999998784e-05 × 6371000     		dr = 130.478079999225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21288777-0.21293571) × cos(-1.12939676) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.42720530787576 × 6371000     		do = 130.479497289872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21288777-0.21293571) × cos(-1.12941724) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.427186790699008 × 6371000     		du = 130.47384166746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12939676)-sin(-1.12941724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42720530787576-0.427186790699008)×R²
    abs(0.21293571-0.21288777)×1.85171767518866e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85171767518866e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85171767518866e-05×40589641000000     		ar = 17024.3453187939m²