Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69972 / 95508
↖ ↑ ↗
← S 63.258355°
E 12.183838°		 ← 137.40 m → S 63.258355°
E 12.186584°		 →
↑
137.42 m
↓
↑
137.42 m
↓
S 63.259591°
E 12.183838°		 ← 137.40 m →
18 882 m²		 S 63.259591°
E 12.186584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533847808837891 y=0.728672027587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533847808837891 × 217)
    floor (0.533847808837891 × 131072)
    floor (69972.5)     		tx = 69972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728672027587891 × 217)
    floor (0.728672027587891 × 131072)
    floor (95508.5)     		ty = 95508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69972 / 95508 ti = "17/69972/95508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69972/95508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69972 ÷ 217
    69972 ÷ 131072     		x = 0.533843994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95508 ÷ 217
    95508 ÷ 131072     		y = 0.728668212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533843994140625 × 2 - 1) × π
    0.06768798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.21264809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728668212890625 × 2 - 1) × π
    -0.45733642578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43676475541232
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.21264809} λ = 0.21264809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43676475541232))-π/2
    2×atan(0.237695519207945)-π/2
    2×0.23336487207343-π/2
    0.466729744146859-1.57079632675     		φ = -1.10406658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.21264809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.183838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10406658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.258355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69972 KachelY 95508 0.21264809 -1.10406658 12.183838 -63.258355
    Oben rechts KachelX + 1 69973 KachelY 95508 0.21269602 -1.10406658 12.186584 -63.258355
    Unten links KachelX 69972 KachelY + 1 95509 0.21264809 -1.10408815 12.183838 -63.259591
    Unten rechts KachelX + 1 69973 KachelY + 1 95509 0.21269602 -1.10408815 12.186584 -63.259591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10406658--1.10408815) × R
    2.15699999999153e-05 × 6371000     		dl = 137.42246999946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10406658--1.10408815) × R
    2.15699999999153e-05 × 6371000     		dr = 137.42246999946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.21264809-0.21269602) × cos(-1.10406658) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.449968214817246 × 6371000     		do = 137.403207512075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.21264809-0.21269602) × cos(-1.10408815) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.449948951741176 × 6371000     		du = 137.397325300062m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10406658)-sin(-1.10408815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449968214817246-0.449948951741176)×R²
    abs(0.21269602-0.21264809)×1.92630760704193e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.92630760704193e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.92630760704193e-05×40589641000000     		ar = 18881.88398891m²