Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6997 / 3633
↖ ↑ ↗
← N 70.252029°
W 26.257324°		 ← 825.52 m → N 70.252029°
W 26.235352°		 →
↑
825.68 m
↓
↑
825.68 m
↓
N 70.244603°
W 26.257324°		 ← 825.82 m →
681 741 m²		 N 70.244603°
W 26.235352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427093505859375 y=0.221771240234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427093505859375 × 214)
    floor (0.427093505859375 × 16384)
    floor (6997.5)     		tx = 6997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221771240234375 × 214)
    floor (0.221771240234375 × 16384)
    floor (3633.5)     		ty = 3633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6997 / 3633 ti = "14/6997/3633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6997/3633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6997 ÷ 214
    6997 ÷ 16384     		x = 0.42706298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3633 ÷ 214
    3633 ÷ 16384     		y = 0.22174072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42706298828125 × 2 - 1) × π
    -0.1458740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45827676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22174072265625 × 2 - 1) × π
    0.5565185546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.74835460294269
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45827676} λ = -0.45827676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74835460294269))-π/2
    2×atan(5.74514185523442)-π/2
    2×1.3984627707785-π/2
    2.796925541557-1.57079632675     		φ = 1.22612921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45827676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.257324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22612921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.252029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6997 KachelY 3633 -0.45827676 1.22612921 -26.257324 70.252029
    Oben rechts KachelX + 1 6998 KachelY 3633 -0.45789327 1.22612921 -26.235352 70.252029
    Unten links KachelX 6997 KachelY + 1 3634 -0.45827676 1.22599961 -26.257324 70.244603
    Unten rechts KachelX + 1 6998 KachelY + 1 3634 -0.45789327 1.22599961 -26.235352 70.244603
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22612921-1.22599961) × R
    0.000129600000000174 × 6371000     		dl = 825.681600001109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22612921-1.22599961) × R
    0.000129600000000174 × 6371000     		dr = 825.681600001109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45827676--0.45789327) × cos(1.22612921) × R
    0.000383489999999986 × 0.337883390302675 × 6371000     		do = 825.521696482808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45827676--0.45789327) × cos(1.22599961) × R
    0.000383489999999986 × 0.338005365427029 × 6371000     		du = 825.819707910642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22612921)-sin(1.22599961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337883390302675-0.338005365427029)×R²
    abs(-0.45789327--0.45827676)×0.000121975124354246×R²
    0.000383489999999986×0.000121975124354246×6371000²
    0.000383489999999986×0.000121975124354246×40589641000000     		ar = 681741.107417046m²