Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6995 / 2131
↖ ↑ ↗
← N 78.823295°
W 26.301269°		 ← 473.58 m → N 78.823295°
W 26.279297°		 →
↑
473.68 m
↓
↑
473.68 m
↓
N 78.819035°
W 26.301269°		 ← 473.76 m →
224 370 m²		 N 78.819035°
W 26.279297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426971435546875 y=0.130096435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426971435546875 × 214)
    floor (0.426971435546875 × 16384)
    floor (6995.5)     		tx = 6995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130096435546875 × 214)
    floor (0.130096435546875 × 16384)
    floor (2131.5)     		ty = 2131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6995 / 2131 ti = "14/6995/2131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6995/2131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6995 ÷ 214
    6995 ÷ 16384     		x = 0.42694091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2131 ÷ 214
    2131 ÷ 16384     		y = 0.13006591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42694091796875 × 2 - 1) × π
    -0.1461181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45904375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13006591796875 × 2 - 1) × π
    0.7398681640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.32436438877728
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45904375} λ = -0.45904375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32436438877728))-π/2
    2×atan(10.2201819585174)-π/2
    2×1.47326117955901-π/2
    2.94652235911803-1.57079632675     		φ = 1.37572603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45904375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.301269°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37572603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.823295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6995 KachelY 2131 -0.45904375 1.37572603 -26.301269 78.823295
    Oben rechts KachelX + 1 6996 KachelY 2131 -0.45866026 1.37572603 -26.279297 78.823295
    Unten links KachelX 6995 KachelY + 1 2132 -0.45904375 1.37565168 -26.301269 78.819035
    Unten rechts KachelX + 1 6996 KachelY + 1 2132 -0.45866026 1.37565168 -26.279297 78.819035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37572603-1.37565168) × R
    7.43500000000008e-05 × 6371000     		dl = 473.683850000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37572603-1.37565168) × R
    7.43500000000008e-05 × 6371000     		dr = 473.683850000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45904375--0.45866026) × cos(1.37572603) × R
    0.000383489999999986 × 0.193835498990413 × 6371000     		do = 473.58175796039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45904375--0.45866026) × cos(1.37565168) × R
    0.000383489999999986 × 0.193908438335909 × 6371000     		du = 473.759964448079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37572603)-sin(1.37565168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193835498990413-0.193908438335909)×R²
    abs(-0.45866026--0.45904375)×7.29393454960703e-05×R²
    0.000383489999999986×7.29393454960703e-05×6371000²
    0.000383489999999986×7.29393454960703e-05×40589641000000     		ar = 224370.23727212m²