Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6994 / 10866
↖ ↑ ↗
← S 50.541363°
W 26.323242°		 ← 1 552.75 m → S 50.541363°
W 26.301269°		 →
↑
1 552.55 m
↓
↑
1 552.55 m
↓
S 50.555325°
W 26.323242°		 ← 1 552.30 m →
2 410 371 m²		 S 50.555325°
W 26.301269°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426910400390625 y=0.663238525390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426910400390625 × 214)
    floor (0.426910400390625 × 16384)
    floor (6994.5)     		tx = 6994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663238525390625 × 214)
    floor (0.663238525390625 × 16384)
    floor (10866.5)     		ty = 10866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6994 / 10866 ti = "14/6994/10866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6994/10866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6994 ÷ 214
    6994 ÷ 16384     		x = 0.4268798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10866 ÷ 214
    10866 ÷ 16384     		y = 0.6632080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4268798828125 × 2 - 1) × π
    -0.146240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45942725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6632080078125 × 2 - 1) × π
    -0.326416015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.02546615667224
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45942725} λ = -0.45942725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02546615667224))-π/2
    2×atan(0.358629249017172)-π/2
    2×0.344341567312441-π/2
    0.688683134624882-1.57079632675     		φ = -0.88211319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45942725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.323242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88211319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.541363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6994 KachelY 10866 -0.45942725 -0.88211319 -26.323242 -50.541363
    Oben rechts KachelX + 1 6995 KachelY 10866 -0.45904375 -0.88211319 -26.301269 -50.541363
    Unten links KachelX 6994 KachelY + 1 10867 -0.45942725 -0.88235688 -26.323242 -50.555325
    Unten rechts KachelX + 1 6995 KachelY + 1 10867 -0.45904375 -0.88235688 -26.301269 -50.555325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88211319--0.88235688) × R
    0.000243690000000019 × 6371000     		dl = 1552.54899000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88211319--0.88235688) × R
    0.000243690000000019 × 6371000     		dr = 1552.54899000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45942725--0.45904375) × cos(-0.88211319) × R
    0.000383500000000037 × 0.635521005097655 × 6371000     		do = 1552.75480805364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45942725--0.45904375) × cos(-0.88235688) × R
    0.000383500000000037 × 0.63533283718214 × 6371000     		du = 1552.29506143127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88211319)-sin(-0.88235688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635521005097655-0.63533283718214)×R²
    abs(-0.45904375--0.45942725)×0.000188167915514126×R²
    0.000383500000000037×0.000188167915514126×6371000²
    0.000383500000000037×0.000188167915514126×40589641000000     		ar = 2410371.03131191m²