Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6993 / 2130
↖ ↑ ↗
← N 78.827554°
W 26.345215°		 ← 473.40 m → N 78.827554°
W 26.323242°		 →
↑
473.49 m
↓
↑
473.49 m
↓
N 78.823295°
W 26.345215°		 ← 473.58 m →
224 195 m²		 N 78.823295°
W 26.323242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426849365234375 y=0.130035400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426849365234375 × 214)
    floor (0.426849365234375 × 16384)
    floor (6993.5)     		tx = 6993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130035400390625 × 214)
    floor (0.130035400390625 × 16384)
    floor (2130.5)     		ty = 2130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6993 / 2130 ti = "14/6993/2130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6993/2130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6993 ÷ 214
    6993 ÷ 16384     		x = 0.42681884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2130 ÷ 214
    2130 ÷ 16384     		y = 0.1300048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42681884765625 × 2 - 1) × π
    -0.1463623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45981074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1300048828125 × 2 - 1) × π
    0.739990234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.32474788397424
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45981074} λ = -0.45981074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32474788397424))-π/2
    2×atan(10.2241021008404)-π/2
    2×1.47329834005924-π/2
    2.94659668011848-1.57079632675     		φ = 1.37580035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45981074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.345215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37580035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.827554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6993 KachelY 2130 -0.45981074 1.37580035 -26.345215 78.827554
    Oben rechts KachelX + 1 6994 KachelY 2130 -0.45942725 1.37580035 -26.323242 78.827554
    Unten links KachelX 6993 KachelY + 1 2131 -0.45981074 1.37572603 -26.345215 78.823295
    Unten rechts KachelX + 1 6994 KachelY + 1 2131 -0.45942725 1.37572603 -26.323242 78.823295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37580035-1.37572603) × R
    7.43199999999611e-05 × 6371000     		dl = 473.492719999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37580035-1.37572603) × R
    7.43199999999611e-05 × 6371000     		dr = 473.492719999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45981074--0.45942725) × cos(1.37580035) × R
    0.000383489999999986 × 0.193762588004863 × 6371000     		do = 473.403620762141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45981074--0.45942725) × cos(1.37572603) × R
    0.000383489999999986 × 0.193835498990413 × 6371000     		du = 473.58175796039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37580035)-sin(1.37572603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193762588004863-0.193835498990413)×R²
    abs(-0.45942725--0.45981074)×7.29109855500676e-05×R²
    0.000383489999999986×7.29109855500676e-05×6371000²
    0.000383489999999986×7.29109855500676e-05×40589641000000     		ar = 224195.341489472m²