Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6992 / 5446
↖ ↑ ↗
← N 51.536086°
W 26.367188°		 ← 1 519.77 m → N 51.536086°
W 26.345215°		 →
↑
1 519.99 m
↓
↑
1 519.99 m
↓
N 51.522416°
W 26.367188°		 ← 1 520.23 m →
2 310 390 m²		 N 51.522416°
W 26.345215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426788330078125 y=0.332427978515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426788330078125 × 214)
    floor (0.426788330078125 × 16384)
    floor (6992.5)     		tx = 6992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332427978515625 × 214)
    floor (0.332427978515625 × 16384)
    floor (5446.5)     		ty = 5446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6992 / 5446 ti = "14/6992/5446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6992/5446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6992 ÷ 214
    6992 ÷ 16384     		x = 0.4267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5446 ÷ 214
    5446 ÷ 16384     		y = 0.3323974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4267578125 × 2 - 1) × π
    -0.146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46019424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3323974609375 × 2 - 1) × π
    0.335205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.05307781085339
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46019424} λ = -0.46019424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05307781085339))-π/2
    2×atan(2.86645997673617)-π/2
    2×1.23513535205848-π/2
    2.47027070411696-1.57079632675     		φ = 0.89947438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46019424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.367188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89947438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.536086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6992 KachelY 5446 -0.46019424 0.89947438 -26.367188 51.536086
    Oben rechts KachelX + 1 6993 KachelY 5446 -0.45981074 0.89947438 -26.345215 51.536086
    Unten links KachelX 6992 KachelY + 1 5447 -0.46019424 0.89923580 -26.367188 51.522416
    Unten rechts KachelX + 1 6993 KachelY + 1 5447 -0.45981074 0.89923580 -26.345215 51.522416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89947438-0.89923580) × R
    0.000238579999999988 × 6371000     		dl = 1519.99317999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89947438-0.89923580) × R
    0.000238579999999988 × 6371000     		dr = 1519.99317999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46019424--0.45981074) × cos(0.89947438) × R
    0.000383499999999981 × 0.622021614673869 × 6371000     		do = 1519.77203766787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46019424--0.45981074) × cos(0.89923580) × R
    0.000383499999999981 × 0.622208405126124 × 6371000     		du = 1520.22841876387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89947438)-sin(0.89923580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622021614673869-0.622208405126124)×R²
    abs(-0.45981074--0.46019424)×0.000186790452255559×R²
    0.000383499999999981×0.000186790452255559×6371000²
    0.000383499999999981×0.000186790452255559×40589641000000     		ar = 2310389.99144631m²