Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 69916 / 96894
↖ ↑ ↗
← S 64.921214°
E 12.030029°		 ← 129.46 m → S 64.921214°
E 12.032776°		 →
↑
129.46 m
↓
↑
129.46 m
↓
S 64.922378°
E 12.030029°		 ← 129.45 m →
16 759 m²		 S 64.922378°
E 12.032776°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96894 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533420562744141 y=0.739246368408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533420562744141 × 217)
    floor (0.533420562744141 × 131072)
    floor (69916.5)     		tx = 69916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739246368408203 × 217)
    floor (0.739246368408203 × 131072)
    floor (96894.5)     		ty = 96894
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69916 / 96894 ti = "17/69916/96894"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69916/96894.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69916 ÷ 217
    69916 ÷ 131072     		x = 0.533416748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96894 ÷ 217
    96894 ÷ 131072     		y = 0.739242553710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533416748046875 × 2 - 1) × π
    0.06683349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.20996362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739242553710938 × 2 - 1) × π
    -0.478485107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50320529828572
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20996362} λ = 0.20996362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50320529828572))-π/2
    2×atan(0.222416106417558)-π/2
    2×0.2188536985195-π/2
    0.437707397039-1.57079632675     		φ = -1.13308893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20996362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.030029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13308893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.921214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69916 KachelY 96894 0.20996362 -1.13308893 12.030029 -64.921214
    Oben rechts KachelX + 1 69917 KachelY 96894 0.21001156 -1.13308893 12.032776 -64.921214
    Unten links KachelX 69916 KachelY + 1 96895 0.20996362 -1.13310925 12.030029 -64.922378
    Unten rechts KachelX + 1 69917 KachelY + 1 96895 0.21001156 -1.13310925 12.032776 -64.922378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13308893--1.13310925) × R
    2.03199999999626e-05 × 6371000     		dl = 129.458719999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13308893--1.13310925) × R
    2.03199999999626e-05 × 6371000     		dr = 129.458719999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20996362-0.21001156) × cos(-1.13308893) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.423864110945423 × 6371000     		do = 129.459009745013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20996362-0.21001156) × cos(-1.13310925) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.423845706509765 × 6371000     		du = 129.453388556633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13308893)-sin(-1.13310925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423864110945423-0.423845706509765)×R²
    abs(0.21001156-0.20996362)×1.84044356572599e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.84044356572599e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.84044356572599e-05×40589641000000     		ar = 16759.2338385728m²