Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 69907 / 96875
↖ ↑ ↗
← S 64.899085°
E 12.005310°		 ← 129.57 m → S 64.899085°
E 12.008057°		 →
↑
129.59 m
↓
↑
129.59 m
↓
S 64.900250°
E 12.005310°		 ← 129.56 m →
16 790 m²		 S 64.900250°
E 12.008057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533351898193359 y=0.739101409912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533351898193359 × 217)
    floor (0.533351898193359 × 131072)
    floor (69907.5)     		tx = 69907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739101409912109 × 217)
    floor (0.739101409912109 × 131072)
    floor (96875.5)     		ty = 96875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69907 / 96875 ti = "17/69907/96875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69907/96875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69907 ÷ 217
    69907 ÷ 131072     		x = 0.533348083496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96875 ÷ 217
    96875 ÷ 131072     		y = 0.739097595214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533348083496094 × 2 - 1) × π
    0.0666961669921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.20953219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739097595214844 × 2 - 1) × π
    -0.478195190429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.50229449719294
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20953219} λ = 0.20953219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50229449719294))-π/2
    2×atan(0.222618775531951)-π/2
    2×0.219046806102274-π/2
    0.438093612204548-1.57079632675     		φ = -1.13270271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20953219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.005310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13270271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.899085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69907 KachelY 96875 0.20953219 -1.13270271 12.005310 -64.899085
    Oben rechts KachelX + 1 69908 KachelY 96875 0.20958013 -1.13270271 12.008057 -64.899085
    Unten links KachelX 69907 KachelY + 1 96876 0.20953219 -1.13272305 12.005310 -64.900250
    Unten rechts KachelX + 1 69908 KachelY + 1 96876 0.20958013 -1.13272305 12.008057 -64.900250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13270271--1.13272305) × R
    2.03400000000631e-05 × 6371000     		dl = 129.586140000402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13270271--1.13272305) × R
    2.03400000000631e-05 × 6371000     		dr = 129.586140000402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20953219-0.20958013) × cos(-1.13270271) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.424213888740179 × 6371000     		do = 129.565840886737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20953219-0.20958013) × cos(-1.13272305) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.424195469520891 × 6371000     		du = 129.560215183056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13270271)-sin(-1.13272305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424213888740179-0.424195469520891)×R²
    abs(0.20958013-0.20953219)×1.84192192884125e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84192192884125e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84192192884125e-05×40589641000000     		ar = 16789.5726903698m²