Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69906 / 96891
↖ ↑ ↗
← S 64.917721°
E 12.002563°		 ← 129.48 m → S 64.917721°
E 12.005310°		 →
↑
129.46 m
↓
↑
129.46 m
↓
S 64.918885°
E 12.002563°		 ← 129.47 m →
16 761 m²		 S 64.918885°
E 12.005310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533344268798828 y=0.739223480224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533344268798828 × 217)
    floor (0.533344268798828 × 131072)
    floor (69906.5)     		tx = 69906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739223480224609 × 217)
    floor (0.739223480224609 × 131072)
    floor (96891.5)     		ty = 96891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69906 / 96891 ti = "17/69906/96891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69906/96891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69906 ÷ 217
    69906 ÷ 131072     		x = 0.533340454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96891 ÷ 217
    96891 ÷ 131072     		y = 0.739219665527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533340454101562 × 2 - 1) × π
    0.066680908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.20948425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739219665527344 × 2 - 1) × π
    -0.478439331054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.50306148758686
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20948425} λ = 0.20948425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50306148758686))-π/2
    2×atan(0.222448094533322)-π/2
    2×0.218884178601524-π/2
    0.437768357203048-1.57079632675     		φ = -1.13302797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20948425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 12.002563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13302797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.917721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69906 KachelY 96891 0.20948425 -1.13302797 12.002563 -64.917721
    Oben rechts KachelX + 1 69907 KachelY 96891 0.20953219 -1.13302797 12.005310 -64.917721
    Unten links KachelX 69906 KachelY + 1 96892 0.20948425 -1.13304829 12.002563 -64.918885
    Unten rechts KachelX + 1 69907 KachelY + 1 96892 0.20953219 -1.13304829 12.005310 -64.918885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13302797--1.13304829) × R
    2.03199999999626e-05 × 6371000     		dl = 129.458719999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13302797--1.13304829) × R
    2.03199999999626e-05 × 6371000     		dr = 129.458719999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20948425-0.20953219) × cos(-1.13302797) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.423919323202277 × 6371000     		do = 129.475872989345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20948425-0.20953219) × cos(-1.13304829) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.423900919291686 × 6371000     		du = 129.470251961334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13302797)-sin(-1.13304829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423919323202277-0.423900919291686)×R²
    abs(0.20953219-0.20948425)×1.84039105909362e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84039105909362e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84039105909362e-05×40589641000000     		ar = 16761.4169430829m²