Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6990 / 2410
↖ ↑ ↗
← N 77.570504°
W 26.411133°		 ← 525.89 m → N 77.570504°
W 26.389160°		 →
↑
525.99 m
↓
↑
525.99 m
↓
N 77.565774°
W 26.411133°		 ← 526.08 m →
276 663 m²		 N 77.565774°
W 26.389160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426666259765625 y=0.147125244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426666259765625 × 214)
    floor (0.426666259765625 × 16384)
    floor (6990.5)     		tx = 6990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.147125244140625 × 214)
    floor (0.147125244140625 × 16384)
    floor (2410.5)     		ty = 2410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6990 / 2410 ti = "14/6990/2410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6990/2410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6990 ÷ 214
    6990 ÷ 16384     		x = 0.4266357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2410 ÷ 214
    2410 ÷ 16384     		y = 0.1470947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4266357421875 × 2 - 1) × π
    -0.146728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46096123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1470947265625 × 2 - 1) × π
    0.705810546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.21736922882532
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46096123} λ = -0.46096123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.21736922882532))-π/2
    2×atan(9.18314031909293)-π/2
    2×1.46232851183432-π/2
    2.92465702366865-1.57079632675     		φ = 1.35386070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46096123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.411133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35386070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.570504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6990 KachelY 2410 -0.46096123 1.35386070 -26.411133 77.570504
    Oben rechts KachelX + 1 6991 KachelY 2410 -0.46057773 1.35386070 -26.389160 77.570504
    Unten links KachelX 6990 KachelY + 1 2411 -0.46096123 1.35377814 -26.411133 77.565774
    Unten rechts KachelX + 1 6991 KachelY + 1 2411 -0.46057773 1.35377814 -26.389160 77.565774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35386070-1.35377814) × R
    8.25600000000648e-05 × 6371000     		dl = 525.989760000413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35386070-1.35377814) × R
    8.25600000000648e-05 × 6371000     		dr = 525.989760000413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46096123--0.46057773) × cos(1.35386070) × R
    0.000383499999999981 × 0.21523808913747 × 6371000     		do = 525.886595570639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46096123--0.46057773) × cos(1.35377814) × R
    0.000383499999999981 × 0.215318713329797 × 6371000     		du = 526.08358292633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35386070)-sin(1.35377814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21523808913747-0.215318713329797)×R²
    abs(-0.46057773--0.46096123)×8.06241923266282e-05×R²
    0.000383499999999981×8.06241923266282e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.06241923266282e-05×40589641000000     		ar = 276662.771013848m²