Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69898 / 96818
↖ ↑ ↗
← S 64.832590°
E 11.980591°		 ← 129.86 m → S 64.832590°
E 11.983337°		 →
↑
129.84 m
↓
↑
129.84 m
↓
S 64.833758°
E 11.980591°		 ← 129.85 m →
16 861 m²		 S 64.833758°
E 11.983337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96818 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533283233642578 y=0.738666534423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533283233642578 × 217)
    floor (0.533283233642578 × 131072)
    floor (69898.5)     		tx = 69898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738666534423828 × 217)
    floor (0.738666534423828 × 131072)
    floor (96818.5)     		ty = 96818
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69898 / 96818 ti = "17/69898/96818"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69898/96818.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69898 ÷ 217
    69898 ÷ 131072     		x = 0.533279418945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96818 ÷ 217
    96818 ÷ 131072     		y = 0.738662719726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533279418945312 × 2 - 1) × π
    0.066558837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.20910076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738662719726562 × 2 - 1) × π
    -0.477325439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.4995620939146
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20910076} λ = 0.20910076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4995620939146))-π/2
    2×atan(0.223227891600433)-π/2
    2×0.219627085290662-π/2
    0.439254170581324-1.57079632675     		φ = -1.13154216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20910076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.980591°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13154216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.832590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69898 KachelY 96818 0.20910076 -1.13154216 11.980591 -64.832590
    Oben rechts KachelX + 1 69899 KachelY 96818 0.20914869 -1.13154216 11.983337 -64.832590
    Unten links KachelX 69898 KachelY + 1 96819 0.20910076 -1.13156254 11.980591 -64.833758
    Unten rechts KachelX + 1 69899 KachelY + 1 96819 0.20914869 -1.13156254 11.983337 -64.833758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13154216--1.13156254) × R
    2.0380000000042e-05 × 6371000     		dl = 129.840980000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13154216--1.13156254) × R
    2.0380000000042e-05 × 6371000     		dr = 129.840980000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20910076-0.20914869) × cos(-1.13154216) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.425264552827694 × 6371000     		do = 129.859647138511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20910076-0.20914869) × cos(-1.13156254) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.425246107431298 × 6371000     		du = 129.854014614823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13154216)-sin(-1.13156254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425264552827694-0.425246107431298)×R²
    abs(0.20914869-0.20910076)×1.84453963959497e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.84453963959497e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.84453963959497e-05×40589641000000     		ar = 16860.7381812531m²