Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69895 / 98550
↖ ↑ ↗
← S 66.781084°
E 11.972351°		 ← 120.39 m → S 66.781084°
E 11.975098°		 →
↑
120.41 m
↓
↑
120.41 m
↓
S 66.782167°
E 11.972351°		 ← 120.38 m →
14 496 m²		 S 66.782167°
E 11.975098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533260345458984 y=0.751880645751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533260345458984 × 217)
    floor (0.533260345458984 × 131072)
    floor (69895.5)     		tx = 69895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751880645751953 × 217)
    floor (0.751880645751953 × 131072)
    floor (98550.5)     		ty = 98550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69895 / 98550 ti = "17/69895/98550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69895/98550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69895 ÷ 217
    69895 ÷ 131072     		x = 0.533256530761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98550 ÷ 217
    98550 ÷ 131072     		y = 0.751876831054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533256530761719 × 2 - 1) × π
    0.0665130615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.20895695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751876831054688 × 2 - 1) × π
    -0.503753662109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.58258880405653
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20895695} λ = 0.20895695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58258880405653))-π/2
    2×atan(0.205442558652801)-π/2
    2×0.202623270089284-π/2
    0.405246540178567-1.57079632675     		φ = -1.16554979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20895695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.972351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16554979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.781084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69895 KachelY 98550 0.20895695 -1.16554979 11.972351 -66.781084
    Oben rechts KachelX + 1 69896 KachelY 98550 0.20900488 -1.16554979 11.975098 -66.781084
    Unten links KachelX 69895 KachelY + 1 98551 0.20895695 -1.16556869 11.972351 -66.782167
    Unten rechts KachelX + 1 69896 KachelY + 1 98551 0.20900488 -1.16556869 11.975098 -66.782167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16554979--1.16556869) × R
    1.88999999999329e-05 × 6371000     		dl = 120.411899999572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16554979--1.16556869) × R
    1.88999999999329e-05 × 6371000     		dr = 120.411899999572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20895695-0.20900488) × cos(-1.16554979) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.394245340953357 × 6371000     		do = 120.387557631563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20895695-0.20900488) × cos(-1.16556869) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.394227971684114 × 6371000     		du = 120.382253716247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16554979)-sin(-1.16556869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394245340953357-0.394227971684114)×R²
    abs(0.20900488-0.20895695)×1.73692692432836e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.73692692432836e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.73692692432836e-05×40589641000000     		ar = 14495.7752239413m²