Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 6989 / 9393
↖ ↑ ↗
← N 60.667797°
W103.216553°		 ← 598.45 m → N 60.667797°
W103.205566°		 →
↑
598.49 m
↓
↑
598.49 m
↓
N 60.662415°
W103.216553°		 ← 598.55 m →
358 196 m²		 N 60.662415°
W103.205566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.213302612304688 y=0.286666870117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.213302612304688 × 215)
    floor (0.213302612304688 × 32768)
    floor (6989.5)     		tx = 6989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.286666870117188 × 215)
    floor (0.286666870117188 × 32768)
    floor (9393.5)     		ty = 9393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 6989 / 9393 ti = "15/6989/9393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/6989/9393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6989 ÷ 215
    6989 ÷ 32768     		x = 0.213287353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9393 ÷ 215
    9393 ÷ 32768     		y = 0.286651611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.213287353515625 × 2 - 1) × π
    -0.57342529296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.80146869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.286651611328125 × 2 - 1) × π
    0.42669677734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.34050746097525
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80146869} λ = -1.80146869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34050746097525))-π/2
    2×atan(3.82098201272491)-π/2
    2×1.31482456818599-π/2
    2.62964913637198-1.57079632675     		φ = 1.05885281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80146869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.216553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05885281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.667797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6989 KachelY 9393 -1.80146869 1.05885281 -103.216553 60.667797
    Oben rechts KachelX + 1 6990 KachelY 9393 -1.80127694 1.05885281 -103.205566 60.667797
    Unten links KachelX 6989 KachelY + 1 9394 -1.80146869 1.05875887 -103.216553 60.662415
    Unten rechts KachelX + 1 6990 KachelY + 1 9394 -1.80127694 1.05875887 -103.205566 60.662415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05885281-1.05875887) × R
    9.39400000001811e-05 × 6371000     		dl = 598.491740001154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05885281-1.05875887) × R
    9.39400000001811e-05 × 6371000     		dr = 598.491740001154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80146869--1.80127694) × cos(1.05885281) × R
    0.000191750000000157 × 0.489872517438043 × 6371000     		do = 598.447494799113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80146869--1.80127694) × cos(1.05875887) × R
    0.000191750000000157 × 0.489954411612235 × 6371000     		du = 598.547539936652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05885281)-sin(1.05875887))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.489872517438043-0.489954411612235)×R²
    abs(-1.80127694--1.80146869)×8.18941741920209e-05×R²
    0.000191750000000157×8.18941741920209e-05×6371000²
    0.000191750000000157×8.18941741920209e-05×40589641000000     		ar = 358195.820818787m²