Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 6988 / 9396
↖ ↑ ↗
← N 60.651647°
W103.227539°		 ← 598.75 m → N 60.651647°
W103.216553°		 →
↑
598.75 m
↓
↑
598.75 m
↓
N 60.646263°
W103.227539°		 ← 598.85 m →
358 528 m²		 N 60.646263°
W103.216553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9396 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.213272094726562 y=0.286758422851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.213272094726562 × 215)
    floor (0.213272094726562 × 32768)
    floor (6988.5)     		tx = 6988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.286758422851562 × 215)
    floor (0.286758422851562 × 32768)
    floor (9396.5)     		ty = 9396
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 6988 / 9396 ti = "15/6988/9396"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/6988/9396.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6988 ÷ 215
    6988 ÷ 32768     		x = 0.2132568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9396 ÷ 215
    9396 ÷ 32768     		y = 0.2867431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2132568359375 × 2 - 1) × π
    -0.573486328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.80166044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2867431640625 × 2 - 1) × π
    0.426513671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.33993221817981
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80166044} λ = -1.80166044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33993221817981))-π/2
    2×atan(3.81878465241902)-π/2
    2×1.31468363503402-π/2
    2.62936727006804-1.57079632675     		φ = 1.05857094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80166044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.227539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05857094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.651647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6988 KachelY 9396 -1.80166044 1.05857094 -103.227539 60.651647
    Oben rechts KachelX + 1 6989 KachelY 9396 -1.80146869 1.05857094 -103.216553 60.651647
    Unten links KachelX 6988 KachelY + 1 9397 -1.80166044 1.05847696 -103.227539 60.646263
    Unten rechts KachelX + 1 6989 KachelY + 1 9397 -1.80146869 1.05847696 -103.216553 60.646263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05857094-1.05847696) × R
    9.398000000016e-05 × 6371000     		dl = 598.74658000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05857094-1.05847696) × R
    9.398000000016e-05 × 6371000     		dr = 598.74658000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80166044--1.80146869) × cos(1.05857094) × R
    0.000191749999999935 × 0.490118230571558 × 6371000     		do = 598.747667606562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80166044--1.80146869) × cos(1.05847696) × R
    0.000191749999999935 × 0.490200146634539 × 6371000     		du = 598.847739484306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05857094)-sin(1.05847696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.490118230571558-0.490200146634539)×R²
    abs(-1.80146869--1.80166044)×8.19160629813576e-05×R²
    0.000191749999999935×8.19160629813576e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.19160629813576e-05×40589641000000     		ar = 358528.077374373m²