Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 69870 / 72686
↖ ↑ ↗
← S 19.264480°
E 11.903686°		 ← 288.32 m → S 19.264480°
E 11.906433°		 →
↑
288.29 m
↓
↑
288.29 m
↓
S 19.267072°
E 11.903686°		 ← 288.32 m →
83 120 m²		 S 19.267072°
E 11.906433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.533069610595703 y=0.554553985595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.533069610595703 × 217)
    floor (0.533069610595703 × 131072)
    floor (69870.5)     		tx = 69870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554553985595703 × 217)
    floor (0.554553985595703 × 131072)
    floor (72686.5)     		ty = 72686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69870 / 72686 ti = "17/69870/72686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69870/72686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69870 ÷ 217
    69870 ÷ 131072     		x = 0.533065795898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72686 ÷ 217
    72686 ÷ 131072     		y = 0.554550170898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.533065795898438 × 2 - 1) × π
    0.066131591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.20775852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554550170898438 × 2 - 1) × π
    -0.109100341796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.342748832283401
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20775852} λ = 0.20775852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.342748832283401))-π/2
    2×atan(0.709816472155133)-π/2
    2×0.617283862800765-π/2
    1.23456772560153-1.57079632675     		φ = -0.33622860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20775852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.903686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33622860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.264480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69870 KachelY 72686 0.20775852 -0.33622860 11.903686 -19.264480
    Oben rechts KachelX + 1 69871 KachelY 72686 0.20780646 -0.33622860 11.906433 -19.264480
    Unten links KachelX 69870 KachelY + 1 72687 0.20775852 -0.33627385 11.903686 -19.267072
    Unten rechts KachelX + 1 69871 KachelY + 1 72687 0.20780646 -0.33627385 11.906433 -19.267072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33622860--0.33627385) × R
    4.52499999999967e-05 × 6371000     		dl = 288.287749999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33622860--0.33627385) × R
    4.52499999999967e-05 × 6371000     		dr = 288.287749999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20775852-0.20780646) × cos(-0.33622860) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.944005671158414 × 6371000     		do = 288.323630677733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20775852-0.20780646) × cos(-0.33627385) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.94399074089458 × 6371000     		du = 288.319070590853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33622860)-sin(-0.33627385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944005671158414-0.94399074089458)×R²
    abs(0.20780646-0.20775852)×1.49302638342563e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.49302638342563e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.49302638342563e-05×40589641000000     		ar = 83119.5134654953m²