Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 6987 / 9395
↖ ↑ ↗
← N 60.657031°
W103.238525°		 ← 598.62 m → N 60.657031°
W103.227539°		 →
↑
598.68 m
↓
↑
598.68 m
↓
N 60.651647°
W103.238525°		 ← 598.72 m →
358 411 m²		 N 60.651647°
W103.227539°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.213241577148438 y=0.286727905273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.213241577148438 × 215)
    floor (0.213241577148438 × 32768)
    floor (6987.5)     		tx = 6987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.286727905273438 × 215)
    floor (0.286727905273438 × 32768)
    floor (9395.5)     		ty = 9395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 6987 / 9395 ti = "15/6987/9395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/6987/9395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6987 ÷ 215
    6987 ÷ 32768     		x = 0.213226318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9395 ÷ 215
    9395 ÷ 32768     		y = 0.286712646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.213226318359375 × 2 - 1) × π
    -0.57354736328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.80185218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.286712646484375 × 2 - 1) × π
    0.42657470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.34012396577829
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80185218} λ = -1.80185218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34012396577829))-π/2
    2×atan(3.81951696541262)-π/2
    2×1.31473062060387-π/2
    2.62946124120775-1.57079632675     		φ = 1.05866491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80185218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.238525°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05866491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.657031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6987 KachelY 9395 -1.80185218 1.05866491 -103.238525 60.657031
    Oben rechts KachelX + 1 6988 KachelY 9395 -1.80166044 1.05866491 -103.227539 60.657031
    Unten links KachelX 6987 KachelY + 1 9396 -1.80185218 1.05857094 -103.238525 60.651647
    Unten rechts KachelX + 1 6988 KachelY + 1 9396 -1.80166044 1.05857094 -103.227539 60.651647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05866491-1.05857094) × R
    9.39699999999988e-05 × 6371000     		dl = 598.682869999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05866491-1.05857094) × R
    9.39699999999988e-05 × 6371000     		dr = 598.682869999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80185218--1.80166044) × cos(1.05866491) × R
    0.000191739999999996 × 0.490036318896755 × 6371000     		do = 598.616380875903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80185218--1.80166044) × cos(1.05857094) × R
    0.000191739999999996 × 0.490118230571558 × 6371000     		du = 598.716442174282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05866491)-sin(1.05857094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.490036318896755-0.490118230571558)×R²
    abs(-1.80166044--1.80185218)×8.19116748030924e-05×R²
    0.000191739999999996×8.19116748030924e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.19116748030924e-05×40589641000000     		ar = 358411.325688254m²