Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6987 / 5449
↖ ↑ ↗
← N 51.495065°
W 26.477051°		 ← 1 521.10 m → N 51.495065°
W 26.455078°		 →
↑
1 521.33 m
↓
↑
1 521.33 m
↓
N 51.481383°
W 26.477051°		 ← 1 521.56 m →
2 314 447 m²		 N 51.481383°
W 26.455078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426483154296875 y=0.332611083984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426483154296875 × 214)
    floor (0.426483154296875 × 16384)
    floor (6987.5)     		tx = 6987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332611083984375 × 214)
    floor (0.332611083984375 × 16384)
    floor (5449.5)     		ty = 5449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6987 / 5449 ti = "14/6987/5449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6987/5449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6987 ÷ 214
    6987 ÷ 16384     		x = 0.42645263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5449 ÷ 214
    5449 ÷ 16384     		y = 0.33258056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42645263671875 × 2 - 1) × π
    -0.1470947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46211171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33258056640625 × 2 - 1) × π
    0.3348388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.05192732526251
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46211171} λ = -0.46211171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05192732526251))-π/2
    2×atan(2.86316405215651)-π/2
    2×1.2347773774224-π/2
    2.46955475484479-1.57079632675     		φ = 0.89875843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46211171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.477051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89875843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.495065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6987 KachelY 5449 -0.46211171 0.89875843 -26.477051 51.495065
    Oben rechts KachelX + 1 6988 KachelY 5449 -0.46172822 0.89875843 -26.455078 51.495065
    Unten links KachelX 6987 KachelY + 1 5450 -0.46211171 0.89851964 -26.477051 51.481383
    Unten rechts KachelX + 1 6988 KachelY + 1 5450 -0.46172822 0.89851964 -26.455078 51.481383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89875843-0.89851964) × R
    0.000238790000000044 × 6371000     		dl = 1521.33109000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89875843-0.89851964) × R
    0.000238790000000044 × 6371000     		dr = 1521.33109000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46211171--0.46172822) × cos(0.89875843) × R
    0.000383489999999986 × 0.622582044107387 × 6371000     		do = 1521.10165815155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46211171--0.46172822) × cos(0.89851964) × R
    0.000383489999999986 × 0.622768892552714 × 6371000     		du = 1521.55816903666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89875843)-sin(0.89851964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622582044107387-0.622768892552714)×R²
    abs(-0.46172822--0.46211171)×0.000186848445327126×R²
    0.000383489999999986×0.000186848445327126×6371000²
    0.000383489999999986×0.000186848445327126×40589641000000     		ar = 2314446.50669594m²