Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6986 / 5450
↖ ↑ ↗
← N 51.481383°
W 26.499024°		 ← 1 521.60 m → N 51.481383°
W 26.477051°		 →
↑
1 521.84 m
↓
↑
1 521.84 m
↓
N 51.467697°
W 26.499024°		 ← 1 522.05 m →
2 315 977 m²		 N 51.467697°
W 26.477051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426422119140625 y=0.332672119140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426422119140625 × 214)
    floor (0.426422119140625 × 16384)
    floor (6986.5)     		tx = 6986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332672119140625 × 214)
    floor (0.332672119140625 × 16384)
    floor (5450.5)     		ty = 5450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6986 / 5450 ti = "14/6986/5450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6986/5450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6986 ÷ 214
    6986 ÷ 16384     		x = 0.4263916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5450 ÷ 214
    5450 ÷ 16384     		y = 0.3326416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4263916015625 × 2 - 1) × π
    -0.147216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.46249521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3326416015625 × 2 - 1) × π
    0.334716796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.05154383006555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46249521} λ = -0.46249521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05154383006555))-π/2
    2×atan(2.8620662530082)-π/2
    2×1.23465798089652-π/2
    2.46931596179303-1.57079632675     		φ = 0.89851964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46249521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.499024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89851964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.481383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6986 KachelY 5450 -0.46249521 0.89851964 -26.499024 51.481383
    Oben rechts KachelX + 1 6987 KachelY 5450 -0.46211171 0.89851964 -26.477051 51.481383
    Unten links KachelX 6986 KachelY + 1 5451 -0.46249521 0.89828077 -26.499024 51.467697
    Unten rechts KachelX + 1 6987 KachelY + 1 5451 -0.46211171 0.89828077 -26.477051 51.467697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89851964-0.89828077) × R
    0.000238870000000002 × 6371000     		dl = 1521.84077000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89851964-0.89828077) × R
    0.000238870000000002 × 6371000     		dr = 1521.84077000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46249521--0.46211171) × cos(0.89851964) × R
    0.000383499999999981 × 0.622768892552714 × 6371000     		do = 1521.59784564278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46249521--0.46211171) × cos(0.89828077) × R
    0.000383499999999981 × 0.622955768067913 × 6371000     		du = 1522.05443457124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89851964)-sin(0.89828077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622768892552714-0.622955768067913)×R²
    abs(-0.46211171--0.46249521)×0.000186875515198359×R²
    0.000383499999999981×0.000186875515198359×6371000²
    0.000383499999999981×0.000186875515198359×40589641000000     		ar = 2315977.07587874m²