Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 6985 / 9273
↖ ↑ ↗
← N 61.307177°
W103.260498°		 ← 586.53 m → N 61.307177°
W103.249512°		 →
↑
586.58 m
↓
↑
586.58 m
↓
N 61.301902°
W103.260498°		 ← 586.62 m →
344 072 m²		 N 61.301902°
W103.249512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.213180541992188 y=0.283004760742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.213180541992188 × 215)
    floor (0.213180541992188 × 32768)
    floor (6985.5)     		tx = 6985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.283004760742188 × 215)
    floor (0.283004760742188 × 32768)
    floor (9273.5)     		ty = 9273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 6985 / 9273 ti = "15/6985/9273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/6985/9273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6985 ÷ 215
    6985 ÷ 32768     		x = 0.213165283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9273 ÷ 215
    9273 ÷ 32768     		y = 0.282989501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.213165283203125 × 2 - 1) × π
    -0.57366943359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.80223568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.282989501953125 × 2 - 1) × π
    0.43402099609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.36351717279288
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80223568} λ = -1.80223568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.36351717279288))-π/2
    2×atan(3.90992101408861)-π/2
    2×1.32040421316803-π/2
    2.64080842633607-1.57079632675     		φ = 1.07001210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80223568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.260498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07001210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.307177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6985 KachelY 9273 -1.80223568 1.07001210 -103.260498 61.307177
    Oben rechts KachelX + 1 6986 KachelY 9273 -1.80204393 1.07001210 -103.249512 61.307177
    Unten links KachelX 6985 KachelY + 1 9274 -1.80223568 1.06992003 -103.260498 61.301902
    Unten rechts KachelX + 1 6986 KachelY + 1 9274 -1.80204393 1.06992003 -103.249512 61.301902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07001210-1.06992003) × R
    9.20699999999997e-05 × 6371000     		dl = 586.577969999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07001210-1.06992003) × R
    9.20699999999997e-05 × 6371000     		dr = 586.577969999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80223568--1.80204393) × cos(1.07001210) × R
    0.000191749999999935 × 0.480113614867285 × 6371000     		do = 586.52563638106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80223568--1.80204393) × cos(1.06992003) × R
    0.000191749999999935 × 0.480194377217541 × 6371000     		du = 586.624298838055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07001210)-sin(1.06992003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480113614867285-0.480194377217541)×R²
    abs(-1.80204393--1.80223568)×8.07623502555588e-05×R²
    0.000191749999999935×8.07623502555588e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.07623502555588e-05×40589641000000     		ar = 344071.953996064m²