Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6985 / 1611
↖ ↑ ↗
← N 80.834408°
W 26.520996°		 ← 389.18 m → N 80.834408°
W 26.499024°		 →
↑
389.27 m
↓
↑
389.27 m
↓
N 80.830907°
W 26.520996°		 ← 389.32 m →
151 522 m²		 N 80.830907°
W 26.499024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426361083984375 y=0.098358154296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426361083984375 × 214)
    floor (0.426361083984375 × 16384)
    floor (6985.5)     		tx = 6985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.098358154296875 × 214)
    floor (0.098358154296875 × 16384)
    floor (1611.5)     		ty = 1611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6985 / 1611 ti = "14/6985/1611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6985/1611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6985 ÷ 214
    6985 ÷ 16384     		x = 0.42633056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1611 ÷ 214
    1611 ÷ 16384     		y = 0.09832763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42633056640625 × 2 - 1) × π
    -0.1473388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.46287870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09832763671875 × 2 - 1) × π
    0.8033447265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.52378189119672
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46287870} λ = -0.46287870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52378189119672))-π/2
    2×atan(12.4756892572906)-π/2
    2×1.49081144242586-π/2
    2.98162288485171-1.57079632675     		φ = 1.41082656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46287870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.520996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41082656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.834408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6985 KachelY 1611 -0.46287870 1.41082656 -26.520996 80.834408
    Oben rechts KachelX + 1 6986 KachelY 1611 -0.46249521 1.41082656 -26.499024 80.834408
    Unten links KachelX 6985 KachelY + 1 1612 -0.46287870 1.41076546 -26.520996 80.830907
    Unten rechts KachelX + 1 6986 KachelY + 1 1612 -0.46249521 1.41076546 -26.499024 80.830907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41082656-1.41076546) × R
    6.11000000001471e-05 × 6371000     		dl = 389.268100000937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41082656-1.41076546) × R
    6.11000000001471e-05 × 6371000     		dr = 389.268100000937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46287870--0.46249521) × cos(1.41082656) × R
    0.000383489999999986 × 0.159288359496496 × 6371000     		do = 389.175675796663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46287870--0.46249521) × cos(1.41076546) × R
    0.000383489999999986 × 0.159348679080418 × 6371000     		du = 389.323049496226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41082656)-sin(1.41076546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159288359496496-0.159348679080418)×R²
    abs(-0.46249521--0.46287870)×6.03195839212201e-05×R²
    0.000383489999999986×6.03195839212201e-05×6371000²
    0.000383489999999986×6.03195839212201e-05×40589641000000     		ar = 151522.359871795m²