Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6985 / 1607
↖ ↑ ↗
← N 80.848397°
W 26.520996°		 ← 388.59 m → N 80.848397°
W 26.499024°		 →
↑
388.69 m
↓
↑
388.69 m
↓
N 80.844901°
W 26.520996°		 ← 388.73 m →
151 070 m²		 N 80.844901°
W 26.499024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426361083984375 y=0.098114013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426361083984375 × 214)
    floor (0.426361083984375 × 16384)
    floor (6985.5)     		tx = 6985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.098114013671875 × 214)
    floor (0.098114013671875 × 16384)
    floor (1607.5)     		ty = 1607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6985 / 1607 ti = "14/6985/1607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6985/1607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6985 ÷ 214
    6985 ÷ 16384     		x = 0.42633056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1607 ÷ 214
    1607 ÷ 16384     		y = 0.09808349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42633056640625 × 2 - 1) × π
    -0.1473388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.46287870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09808349609375 × 2 - 1) × π
    0.8038330078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.52531587198456
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46287870} λ = -0.46287870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52531587198456))-π/2
    2×atan(12.4948414106885)-π/2
    2×1.49093352260557-π/2
    2.98186704521113-1.57079632675     		φ = 1.41107072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46287870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.520996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41107072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.848397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6985 KachelY 1607 -0.46287870 1.41107072 -26.520996 80.848397
    Oben rechts KachelX + 1 6986 KachelY 1607 -0.46249521 1.41107072 -26.499024 80.848397
    Unten links KachelX 6985 KachelY + 1 1608 -0.46287870 1.41100971 -26.520996 80.844901
    Unten rechts KachelX + 1 6986 KachelY + 1 1608 -0.46249521 1.41100971 -26.499024 80.844901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41107072-1.41100971) × R
    6.10099999998059e-05 × 6371000     		dl = 388.694709998764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41107072-1.41100971) × R
    6.10099999998059e-05 × 6371000     		dr = 388.694709998764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46287870--0.46249521) × cos(1.41107072) × R
    0.000383489999999986 × 0.159047312161531 × 6371000     		do = 388.586745382785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46287870--0.46249521) × cos(1.41100971) × R
    0.000383489999999986 × 0.159107545266883 × 6371000     		du = 388.733907796629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41107072)-sin(1.41100971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159047312161531-0.159107545266883)×R²
    abs(-0.46249521--0.46287870)×6.02331053521643e-05×R²
    0.000383489999999986×6.02331053521643e-05×6371000²
    0.000383489999999986×6.02331053521643e-05×40589641000000     		ar = 151070.21297899m²