Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6984 / 1977
↖ ↑ ↗
← N 79.460541°
W 26.542969°		 ← 446.91 m → N 79.460541°
W 26.520996°		 →
↑
446.99 m
↓
↑
446.99 m
↓
N 79.456521°
W 26.542969°		 ← 447.08 m →
199 800 m²		 N 79.456521°
W 26.520996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426300048828125 y=0.120697021484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426300048828125 × 214)
    floor (0.426300048828125 × 16384)
    floor (6984.5)     		tx = 6984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120697021484375 × 214)
    floor (0.120697021484375 × 16384)
    floor (1977.5)     		ty = 1977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6984 / 1977 ti = "14/6984/1977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6984/1977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6984 ÷ 214
    6984 ÷ 16384     		x = 0.42626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1977 ÷ 214
    1977 ÷ 16384     		y = 0.12066650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42626953125 × 2 - 1) × π
    -0.1474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46326220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12066650390625 × 2 - 1) × π
    0.7586669921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.38342264910919
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46326220} λ = -0.46326220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38342264910919))-π/2
    2×atan(10.8419476145212)-π/2
    2×1.47882220025172-π/2
    2.95764440050345-1.57079632675     		φ = 1.38684807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46326220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.542969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38684807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.460541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6984 KachelY 1977 -0.46326220 1.38684807 -26.542969 79.460541
    Oben rechts KachelX + 1 6985 KachelY 1977 -0.46287870 1.38684807 -26.520996 79.460541
    Unten links KachelX 6984 KachelY + 1 1978 -0.46326220 1.38677791 -26.542969 79.456521
    Unten rechts KachelX + 1 6985 KachelY + 1 1978 -0.46287870 1.38677791 -26.520996 79.456521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38684807-1.38677791) × R
    7.01600000001523e-05 × 6371000     		dl = 446.98936000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38684807-1.38677791) × R
    7.01600000001523e-05 × 6371000     		dr = 446.98936000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46326220--0.46287870) × cos(1.38684807) × R
    0.000383500000000037 × 0.182912635458496 × 6371000     		do = 446.906509594124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46326220--0.46287870) × cos(1.38677791) × R
    0.000383500000000037 × 0.182981611350923 × 6371000     		du = 447.075036909109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38684807)-sin(1.38677791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182912635458496-0.182981611350923)×R²
    abs(-0.46287870--0.46326220)×6.89758924267703e-05×R²
    0.000383500000000037×6.89758924267703e-05×6371000²
    0.000383500000000037×6.89758924267703e-05×40589641000000     		ar = 199800.119744378m²