Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 6983 / 9411
↖ ↑ ↗
← N 60.570777°
W103.282471°		 ← 600.22 m → N 60.570777°
W103.271485°		 →
↑
600.28 m
↓
↑
600.28 m
↓
N 60.565379°
W103.282471°		 ← 600.32 m →
360 327 m²		 N 60.565379°
W103.271485°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.213119506835938 y=0.287216186523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.213119506835938 × 215)
    floor (0.213119506835938 × 32768)
    floor (6983.5)     		tx = 6983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.287216186523438 × 215)
    floor (0.287216186523438 × 32768)
    floor (9411.5)     		ty = 9411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 6983 / 9411 ti = "15/6983/9411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/6983/9411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6983 ÷ 215
    6983 ÷ 32768     		x = 0.213104248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9411 ÷ 215
    9411 ÷ 32768     		y = 0.287200927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.213104248046875 × 2 - 1) × π
    -0.57379150390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.80261917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.287200927734375 × 2 - 1) × π
    0.42559814453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.33705600420261
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80261917} λ = -1.80261917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33705600420261))-π/2
    2×atan(3.80781679114481)-π/2
    2×1.31397790853649-π/2
    2.62795581707298-1.57079632675     		φ = 1.05715949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80261917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.282471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05715949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.570777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6983 KachelY 9411 -1.80261917 1.05715949 -103.282471 60.570777
    Oben rechts KachelX + 1 6984 KachelY 9411 -1.80242743 1.05715949 -103.271485 60.570777
    Unten links KachelX 6983 KachelY + 1 9412 -1.80261917 1.05706527 -103.282471 60.565379
    Unten rechts KachelX + 1 6984 KachelY + 1 9412 -1.80242743 1.05706527 -103.271485 60.565379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05715949-1.05706527) × R
    9.42200000000337e-05 × 6371000     		dl = 600.275620000215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05715949-1.05706527) × R
    9.42200000000337e-05 × 6371000     		dr = 600.275620000215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80261917--1.80242743) × cos(1.05715949) × R
    0.000191739999999996 × 0.491348040769332 × 6371000     		do = 600.218748230725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80261917--1.80242743) × cos(1.05706527) × R
    0.000191739999999996 × 0.491430100752167 × 6371000     		du = 600.318990698569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05715949)-sin(1.05706527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.491348040769332-0.491430100752167)×R²
    abs(-1.80242743--1.80261917)×8.20599828347812e-05×R²
    0.000191739999999996×8.20599828347812e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.20599828347812e-05×40589641000000     		ar = 360326.768051087m²