Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6983 / 5447
↖ ↑ ↗
← N 51.522416°
W 26.564941°		 ← 1 520.19 m → N 51.522416°
W 26.542969°		 →
↑
1 520.44 m
↓
↑
1 520.44 m
↓
N 51.508742°
W 26.564941°		 ← 1 520.65 m →
2 311 702 m²		 N 51.508742°
W 26.542969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426239013671875 y=0.332489013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426239013671875 × 214)
    floor (0.426239013671875 × 16384)
    floor (6983.5)     		tx = 6983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332489013671875 × 214)
    floor (0.332489013671875 × 16384)
    floor (5447.5)     		ty = 5447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6983 / 5447 ti = "14/6983/5447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6983/5447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6983 ÷ 214
    6983 ÷ 16384     		x = 0.42620849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5447 ÷ 214
    5447 ÷ 16384     		y = 0.33245849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42620849609375 × 2 - 1) × π
    -0.1475830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46364569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33245849609375 × 2 - 1) × π
    0.3350830078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.05269431565643
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46364569} λ = -0.46364569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05269431565643))-π/2
    2×atan(2.86536091385895)-π/2
    2×1.23501606299942-π/2
    2.47003212599885-1.57079632675     		φ = 0.89923580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46364569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.564941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89923580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.522416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6983 KachelY 5447 -0.46364569 0.89923580 -26.564941 51.522416
    Oben rechts KachelX + 1 6984 KachelY 5447 -0.46326220 0.89923580 -26.542969 51.522416
    Unten links KachelX 6983 KachelY + 1 5448 -0.46364569 0.89899715 -26.564941 51.508742
    Unten rechts KachelX + 1 6984 KachelY + 1 5448 -0.46326220 0.89899715 -26.542969 51.508742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89923580-0.89899715) × R
    0.000238650000000007 × 6371000     		dl = 1520.43915000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89923580-0.89899715) × R
    0.000238650000000007 × 6371000     		dr = 1520.43915000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46364569--0.46326220) × cos(0.89923580) × R
    0.000383489999999986 × 0.622208405126124 × 6371000     		do = 1520.1887778664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46364569--0.46326220) × cos(0.89899715) × R
    0.000383489999999986 × 0.62239521495124 × 6371000     		du = 1520.64519439404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89923580)-sin(0.89899715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622208405126124-0.62239521495124)×R²
    abs(-0.46326220--0.46364569)×0.000186809825115208×R²
    0.000383489999999986×0.000186809825115208×6371000²
    0.000383489999999986×0.000186809825115208×40589641000000     		ar = 2311701.52100836m²