Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6982 / 1944
↖ ↑ ↗
← N 79.592349°
W 26.586914°		 ← 441.38 m → N 79.592349°
W 26.564941°		 →
↑
441.45 m
↓
↑
441.45 m
↓
N 79.588379°
W 26.586914°		 ← 441.55 m →
194 882 m²		 N 79.588379°
W 26.564941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426177978515625 y=0.118682861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426177978515625 × 214)
    floor (0.426177978515625 × 16384)
    floor (6982.5)     		tx = 6982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118682861328125 × 214)
    floor (0.118682861328125 × 16384)
    floor (1944.5)     		ty = 1944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6982 / 1944 ti = "14/6982/1944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6982/1944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6982 ÷ 214
    6982 ÷ 16384     		x = 0.4261474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1944 ÷ 214
    1944 ÷ 16384     		y = 0.11865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4261474609375 × 2 - 1) × π
    -0.147705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46402919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11865234375 × 2 - 1) × π
    0.7626953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.39607799060889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46402919} λ = -0.46402919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39607799060889))-π/2
    2×atan(10.9800280487478)-π/2
    2×1.4799724397545-π/2
    2.95994487950899-1.57079632675     		φ = 1.38914855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46402919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.586914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38914855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.592349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6982 KachelY 1944 -0.46402919 1.38914855 -26.586914 79.592349
    Oben rechts KachelX + 1 6983 KachelY 1944 -0.46364569 1.38914855 -26.564941 79.592349
    Unten links KachelX 6982 KachelY + 1 1945 -0.46402919 1.38907926 -26.586914 79.588379
    Unten rechts KachelX + 1 6983 KachelY + 1 1945 -0.46364569 1.38907926 -26.564941 79.588379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38914855-1.38907926) × R
    6.92900000001107e-05 × 6371000     		dl = 441.446590000705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38914855-1.38907926) × R
    6.92900000001107e-05 × 6371000     		dr = 441.446590000705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46402919--0.46364569) × cos(1.38914855) × R
    0.000383499999999981 × 0.180650484451326 × 6371000     		do = 441.379444674487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46402919--0.46364569) × cos(1.38907926) × R
    0.000383499999999981 × 0.180718634013942 × 6371000     		du = 441.545953035611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38914855)-sin(1.38907926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180650484451326-0.180718634013942)×R²
    abs(-0.46364569--0.46402919)×6.81495626161932e-05×R²
    0.000383499999999981×6.81495626161932e-05×6371000²
    0.000383499999999981×6.81495626161932e-05×40589641000000     		ar = 194882.203101117m²