Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 6982 / 18254
↖ ↑ ↗
← N 62.067880°
W141.646729°		 ← 286.14 m → N 62.067880°
W141.641235°		 →
↑
286.19 m
↓
↑
286.19 m
↓
N 62.065307°
W141.646729°		 ← 286.16 m →
81 892 m²		 N 62.065307°
W141.641235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18254 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.106544494628906 y=0.278541564941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.106544494628906 × 216)
    floor (0.106544494628906 × 65536)
    floor (6982.5)     		tx = 6982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.278541564941406 × 216)
    floor (0.278541564941406 × 65536)
    floor (18254.5)     		ty = 18254
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 6982 / 18254 ti = "16/6982/18254"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/6982/18254.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6982 ÷ 216
    6982 ÷ 65536     		x = 0.106536865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18254 ÷ 216
    18254 ÷ 65536     		y = 0.278533935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.106536865234375 × 2 - 1) × π
    -0.78692626953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.47220179
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.278533935546875 × 2 - 1) × π
    0.44293212890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.39151232217099
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.47220179} λ = -2.47220179}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.39151232217099))-π/2
    2×atan(4.0209263932765)-π/2
    2×1.32704259597095-π/2
    2.65408519194191-1.57079632675     		φ = 1.08328887
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.47220179} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.646729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08328887 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.067880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6982 KachelY 18254 -2.47220179 1.08328887 -141.646729 62.067880
    Oben rechts KachelX + 1 6983 KachelY 18254 -2.47210591 1.08328887 -141.641235 62.067880
    Unten links KachelX 6982 KachelY + 1 18255 -2.47220179 1.08324395 -141.646729 62.065307
    Unten rechts KachelX + 1 6983 KachelY + 1 18255 -2.47210591 1.08324395 -141.641235 62.065307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08328887-1.08324395) × R
    4.49200000001149e-05 × 6371000     		dl = 286.185320000732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08328887-1.08324395) × R
    4.49200000001149e-05 × 6371000     		dr = 286.185320000732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.47220179--2.47210591) × cos(1.08328887) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.468425175732206 × 6371000     		do = 286.138211866416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.47220179--2.47210591) × cos(1.08324395) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.468464862222078 × 6371000     		du = 286.16245441749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08328887)-sin(1.08324395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.468425175732206-0.468464862222078)×R²
    abs(-2.47210591--2.47220179)×3.96864898724036e-05×R²
    9.58800000003812e-05×3.96864898724036e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×3.96864898724036e-05×40589641000000     		ar = 81892.0246722722m²