Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6982 / 10875
↖ ↑ ↗
← S 50.666872°
W 26.586914°		 ← 1 548.62 m → S 50.666872°
W 26.564941°		 →
↑
1 548.41 m
↓
↑
1 548.41 m
↓
S 50.680797°
W 26.586914°		 ← 1 548.16 m →
2 397 538 m²		 S 50.680797°
W 26.564941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426177978515625 y=0.663787841796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426177978515625 × 214)
    floor (0.426177978515625 × 16384)
    floor (6982.5)     		tx = 6982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663787841796875 × 214)
    floor (0.663787841796875 × 16384)
    floor (10875.5)     		ty = 10875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6982 / 10875 ti = "14/6982/10875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6982/10875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6982 ÷ 214
    6982 ÷ 16384     		x = 0.4261474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10875 ÷ 214
    10875 ÷ 16384     		y = 0.66375732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4261474609375 × 2 - 1) × π
    -0.147705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46402919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66375732421875 × 2 - 1) × π
    -0.3275146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.02891761344489
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46402919} λ = -0.46402919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02891761344489))-π/2
    2×atan(0.357393589306477)-π/2
    2×0.343246291555178-π/2
    0.686492583110356-1.57079632675     		φ = -0.88430374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46402919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.586914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88430374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.666872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6982 KachelY 10875 -0.46402919 -0.88430374 -26.586914 -50.666872
    Oben rechts KachelX + 1 6983 KachelY 10875 -0.46364569 -0.88430374 -26.564941 -50.666872
    Unten links KachelX 6982 KachelY + 1 10876 -0.46402919 -0.88454678 -26.586914 -50.680797
    Unten rechts KachelX + 1 6983 KachelY + 1 10876 -0.46364569 -0.88454678 -26.564941 -50.680797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88430374--0.88454678) × R
    0.000243039999999972 × 6371000     		dl = 1548.40783999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88430374--0.88454678) × R
    0.000243039999999972 × 6371000     		dr = 1548.40783999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46402919--0.46364569) × cos(-0.88430374) × R
    0.000383499999999981 × 0.633828193991419 × 6371000     		do = 1548.61879907299m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46402919--0.46364569) × cos(-0.88454678) × R
    0.000383499999999981 × 0.633640190185394 × 6371000     		du = 1548.15945341581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88430374)-sin(-0.88454678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633828193991419-0.633640190185394)×R²
    abs(-0.46364569--0.46402919)×0.000188003806024906×R²
    0.000383499999999981×0.000188003806024906×6371000²
    0.000383499999999981×0.000188003806024906×40589641000000     		ar = 2397537.87424837m²