Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69811 / 72873
↖ ↑ ↗
← S 19.748609°
E 11.741638°		 ← 287.40 m → S 19.748609°
E 11.744385°		 →
↑
287.46 m
↓
↑
287.46 m
↓
S 19.751194°
E 11.741638°		 ← 287.40 m →
82 616 m²		 S 19.751194°
E 11.744385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.532619476318359 y=0.555980682373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.532619476318359 × 217)
    floor (0.532619476318359 × 131072)
    floor (69811.5)     		tx = 69811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555980682373047 × 217)
    floor (0.555980682373047 × 131072)
    floor (72873.5)     		ty = 72873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69811 / 72873 ti = "17/69811/72873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69811/72873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69811 ÷ 217
    69811 ÷ 131072     		x = 0.532615661621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72873 ÷ 217
    72873 ÷ 131072     		y = 0.555976867675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.532615661621094 × 2 - 1) × π
    0.0652313232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.20493025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555976867675781 × 2 - 1) × π
    -0.111953735351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.351713032512352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20493025} λ = 0.20493025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.351713032512352))-π/2
    2×atan(0.703481969466506)-π/2
    2×0.613059035912783-π/2
    1.22611807182557-1.57079632675     		φ = -0.34467825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20493025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.741638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34467825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.748609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69811 KachelY 72873 0.20493025 -0.34467825 11.741638 -19.748609
    Oben rechts KachelX + 1 69812 KachelY 72873 0.20497818 -0.34467825 11.744385 -19.748609
    Unten links KachelX 69811 KachelY + 1 72874 0.20493025 -0.34472337 11.741638 -19.751194
    Unten rechts KachelX + 1 69812 KachelY + 1 72874 0.20497818 -0.34472337 11.744385 -19.751194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34467825--0.34472337) × R
    4.51199999999541e-05 × 6371000     		dl = 287.459519999707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34467825--0.34472337) × R
    4.51199999999541e-05 × 6371000     		dr = 287.459519999707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20493025-0.20497818) × cos(-0.34467825) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.941184218674034 × 6371000     		do = 287.401923618276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20493025-0.20497818) × cos(-0.34472337) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.941168971944644 × 6371000     		du = 287.397267846039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34467825)-sin(-0.34472337))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941184218674034-0.941168971944644)×R²
    abs(0.20497818-0.20493025)×1.52467293896841e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.52467293896841e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.52467293896841e-05×40589641000000     		ar = 82615.7498513801m²