Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 69800 / 72872
↖ ↑ ↗
← S 19.746024°
E 11.711426°		 ← 287.47 m → S 19.746024°
E 11.714173°		 →
↑
287.40 m
↓
↑
287.40 m
↓
S 19.748609°
E 11.711426°		 ← 287.46 m →
82 616 m²		 S 19.748609°
E 11.714173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.532535552978516 y=0.555973052978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.532535552978516 × 217)
    floor (0.532535552978516 × 131072)
    floor (69800.5)     		tx = 69800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555973052978516 × 217)
    floor (0.555973052978516 × 131072)
    floor (72872.5)     		ty = 72872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69800 / 72872 ti = "17/69800/72872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69800/72872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69800 ÷ 217
    69800 ÷ 131072     		x = 0.53253173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72872 ÷ 217
    72872 ÷ 131072     		y = 0.55596923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53253173828125 × 2 - 1) × π
    0.0650634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.20440294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55596923828125 × 2 - 1) × π
    -0.1119384765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.351665095612732
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20440294} λ = 0.20440294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.351665095612732))-π/2
    2×atan(0.703515693019355)-π/2
    2×0.613081594822142-π/2
    1.22616318964428-1.57079632675     		φ = -0.34463314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20440294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.711426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34463314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.746024°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69800 KachelY 72872 0.20440294 -0.34463314 11.711426 -19.746024
    Oben rechts KachelX + 1 69801 KachelY 72872 0.20445088 -0.34463314 11.714173 -19.746024
    Unten links KachelX 69800 KachelY + 1 72873 0.20440294 -0.34467825 11.711426 -19.748609
    Unten rechts KachelX + 1 69801 KachelY + 1 72873 0.20445088 -0.34467825 11.714173 -19.748609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34463314--0.34467825) × R
    4.51100000000149e-05 × 6371000     		dl = 287.395810000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34463314--0.34467825) × R
    4.51100000000149e-05 × 6371000     		dr = 287.395810000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20440294-0.20445088) × cos(-0.34463314) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.941199460108833 × 6371000     		do = 287.466541591319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20440294-0.20445088) × cos(-0.34467825) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.941184218674034 × 6371000     		du = 287.461886464817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34463314)-sin(-0.34467825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941199460108833-0.941184218674034)×R²
    abs(0.20445088-0.20440294)×1.52414347992513e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.52414347992513e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.52414347992513e-05×40589641000000     		ar = 82616.0106505778m²