Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 6980 / 9412
↖ ↑ ↗
← N 60.565379°
W103.315430°		 ← 600.35 m → N 60.565379°
W103.304443°		 →
↑
600.40 m
↓
↑
600.40 m
↓
N 60.559979°
W103.315430°		 ← 600.45 m →
360 482 m²		 N 60.559979°
W103.304443°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.213027954101562 y=0.287246704101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.213027954101562 × 215)
    floor (0.213027954101562 × 32768)
    floor (6980.5)     		tx = 6980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.287246704101562 × 215)
    floor (0.287246704101562 × 32768)
    floor (9412.5)     		ty = 9412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 6980 / 9412 ti = "15/6980/9412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/6980/9412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6980 ÷ 215
    6980 ÷ 32768     		x = 0.2130126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9412 ÷ 215
    9412 ÷ 32768     		y = 0.2872314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2130126953125 × 2 - 1) × π
    -0.573974609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.80319442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2872314453125 × 2 - 1) × π
    0.425537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.33686425660413
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80319442} λ = -1.80319442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33686425660413))-π/2
    2×atan(3.80708672141645)-π/2
    2×1.31393079719936-π/2
    2.62786159439872-1.57079632675     		φ = 1.05706527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80319442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.315430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05706527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.565379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6980 KachelY 9412 -1.80319442 1.05706527 -103.315430 60.565379
    Oben rechts KachelX + 1 6981 KachelY 9412 -1.80300267 1.05706527 -103.304443 60.565379
    Unten links KachelX 6980 KachelY + 1 9413 -1.80319442 1.05697103 -103.315430 60.559979
    Unten rechts KachelX + 1 6981 KachelY + 1 9413 -1.80300267 1.05697103 -103.304443 60.559979
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05706527-1.05697103) × R
    9.42400000001342e-05 × 6371000     		dl = 600.403040000855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05706527-1.05697103) × R
    9.42400000001342e-05 × 6371000     		dr = 600.403040000855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80319442--1.80300267) × cos(1.05706527) × R
    0.000191750000000157 × 0.491430100752167 × 6371000     		do = 600.350299710793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80319442--1.80300267) × cos(1.05697103) × R
    0.000191750000000157 × 0.49151217378979 × 6371000     		du = 600.450563354921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05706527)-sin(1.05697103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.491430100752167-0.49151217378979)×R²
    abs(-1.80300267--1.80319442)×8.20730376233092e-05×R²
    0.000191750000000157×8.20730376233092e-05×6371000²
    0.000191750000000157×8.20730376233092e-05×40589641000000     		ar = 360482.244577518m²