Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 698 / 1496
↖ ↑ ↗
← S 63.548552°
W 57.304687°		 ← 8 706.54 m → S 63.548552°
W 57.128906°		 →
↑
8 694.63 m
↓
↑
8 694.63 m
↓
S 63.626745°
W 57.304687°		 ← 8 682.65 m →
75 596 345 m²		 S 63.626745°
W 57.128906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.341064453125 y=0.730712890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.341064453125 × 211)
    floor (0.341064453125 × 2048)
    floor (698.5)     		tx = 698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.730712890625 × 211)
    floor (0.730712890625 × 2048)
    floor (1496.5)     		ty = 1496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 698 / 1496 ti = "11/698/1496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/698/1496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 698 ÷ 211
    698 ÷ 2048     		x = 0.3408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1496 ÷ 211
    1496 ÷ 2048     		y = 0.73046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3408203125 × 2 - 1) × π
    -0.318359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.00015547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73046875 × 2 - 1) × π
    -0.4609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.44807786372266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00015547} λ = -1.00015547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44807786372266))-π/2
    2×atan(0.235021597754514)-π/2
    2×0.230832427744353-π/2
    0.461664855488706-1.57079632675     		φ = -1.10913147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00015547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.304687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10913147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.548552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 698 KachelY 1496 -1.00015547 -1.10913147 -57.304687 -63.548552
    Oben rechts KachelX + 1 699 KachelY 1496 -0.99708751 -1.10913147 -57.128906 -63.548552
    Unten links KachelX 698 KachelY + 1 1497 -1.00015547 -1.11049619 -57.304687 -63.626745
    Unten rechts KachelX + 1 699 KachelY + 1 1497 -0.99708751 -1.11049619 -57.128906 -63.626745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10913147--1.11049619) × R
    0.00136472000000021 × 6371000     		dl = 8694.63112000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10913147--1.11049619) × R
    0.00136472000000021 × 6371000     		dr = 8694.63112000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00015547--0.99708751) × cos(-1.10913147) × R
    0.00306795999999998 × 0.445439290109431 × 6371000     		do = 8706.54440888835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00015547--0.99708751) × cos(-1.11049619) × R
    0.00306795999999998 × 0.444217025290261 × 6371000     		du = 8682.65405353842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10913147)-sin(-1.11049619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.445439290109431-0.444217025290261)×R²
    abs(-0.99708751--1.00015547)×0.00122226481917082×R²
    0.00306795999999998×0.00122226481917082×6371000²
    0.00306795999999998×0.00122226481917082×40589641000000     		ar = 75596344.7845863m²