Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69793 / 97120
↖ ↑ ↗
← S 65.183030°
E 11.692200°		 ← 128.19 m → S 65.183030°
E 11.694946°		 →
↑
128.18 m
↓
↑
128.18 m
↓
S 65.184183°
E 11.692200°		 ← 128.19 m →
16 432 m²		 S 65.184183°
E 11.694946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.532482147216797 y=0.740970611572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.532482147216797 × 217)
    floor (0.532482147216797 × 131072)
    floor (69793.5)     		tx = 69793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740970611572266 × 217)
    floor (0.740970611572266 × 131072)
    floor (97120.5)     		ty = 97120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69793 / 97120 ti = "17/69793/97120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69793/97120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69793 ÷ 217
    69793 ÷ 131072     		x = 0.532478332519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97120 ÷ 217
    97120 ÷ 131072     		y = 0.740966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.532478332519531 × 2 - 1) × π
    0.0649566650390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.20406738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740966796875 × 2 - 1) × π
    -0.48193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51403903759985
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20406738} λ = 0.20406738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51403903759985))-π/2
    2×atan(0.220019513771957)-π/2
    2×0.216568917807117-π/2
    0.433137835614234-1.57079632675     		φ = -1.13765849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20406738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.692200°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13765849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.183030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69793 KachelY 97120 0.20406738 -1.13765849 11.692200 -65.183030
    Oben rechts KachelX + 1 69794 KachelY 97120 0.20411532 -1.13765849 11.694946 -65.183030
    Unten links KachelX 69793 KachelY + 1 97121 0.20406738 -1.13767861 11.692200 -65.184183
    Unten rechts KachelX + 1 69794 KachelY + 1 97121 0.20411532 -1.13767861 11.694946 -65.184183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13765849--1.13767861) × R
    2.01200000000679e-05 × 6371000     		dl = 128.184520000432m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13765849--1.13767861) × R
    2.01200000000679e-05 × 6371000     		dr = 128.184520000432m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20406738-0.20411532) × cos(-1.13765849) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.419720931666003 × 6371000     		do = 128.193576147569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20406738-0.20411532) × cos(-1.13767861) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.419702669598577 × 6371000     		du = 128.187998442111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13765849)-sin(-1.13767861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419720931666003-0.419702669598577)×R²
    abs(0.20411532-0.20406738)×1.8262067426611e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.8262067426611e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.8262067426611e-05×40589641000000     		ar = 16432.07453838m²