Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69789 / 97701
↖ ↑ ↗
← S 65.844396°
E 11.681213°		 ← 124.99 m → S 65.844396°
E 11.683960°		 →
↑
125 m
↓
↑
125 m
↓
S 65.845520°
E 11.681213°		 ← 124.98 m →
15 623 m²		 S 65.845520°
E 11.683960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.532451629638672 y=0.745403289794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.532451629638672 × 217)
    floor (0.532451629638672 × 131072)
    floor (69789.5)     		tx = 69789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745403289794922 × 217)
    floor (0.745403289794922 × 131072)
    floor (97701.5)     		ty = 97701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69789 / 97701 ti = "17/69789/97701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69789/97701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69789 ÷ 217
    69789 ÷ 131072     		x = 0.532447814941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97701 ÷ 217
    97701 ÷ 131072     		y = 0.745399475097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.532447814941406 × 2 - 1) × π
    0.0648956298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.20387563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745399475097656 × 2 - 1) × π
    -0.490798950195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.54189037627911
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20387563} λ = 0.20387563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54189037627911))-π/2
    2×atan(0.21397622328474)-π/2
    2×0.21079741087639-π/2
    0.42159482175278-1.57079632675     		φ = -1.14920150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20387563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.681213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14920150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.844396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69789 KachelY 97701 0.20387563 -1.14920150 11.681213 -65.844396
    Oben rechts KachelX + 1 69790 KachelY 97701 0.20392357 -1.14920150 11.683960 -65.844396
    Unten links KachelX 69789 KachelY + 1 97702 0.20387563 -1.14922112 11.681213 -65.845520
    Unten rechts KachelX + 1 69790 KachelY + 1 97702 0.20392357 -1.14922112 11.683960 -65.845520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14920150--1.14922112) × R
    1.9619999999998e-05 × 6371000     		dl = 124.999019999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14920150--1.14922112) × R
    1.9619999999998e-05 × 6371000     		dr = 124.999019999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20387563-0.20392357) × cos(-1.14920150) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.409216152586755 × 6371000     		do = 124.985146223753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20387563-0.20392357) × cos(-1.14922112) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.409198250484791 × 6371000     		du = 124.979678461013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14920150)-sin(-1.14922112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409216152586755-0.409198250484791)×R²
    abs(0.20392357-0.20387563)×1.79021019638403e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.79021019638403e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.79021019638403e-05×40589641000000     		ar = 15622.6790607069m²