Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69785 / 97759
↖ ↑ ↗
← S 65.909502°
E 11.670227°		 ← 124.64 m → S 65.909502°
E 11.672973°		 →
↑
124.68 m
↓
↑
124.68 m
↓
S 65.910623°
E 11.670227°		 ← 124.64 m →
15 540 m²		 S 65.910623°
E 11.672973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97759 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.532421112060547 y=0.745845794677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.532421112060547 × 217)
    floor (0.532421112060547 × 131072)
    floor (69785.5)     		tx = 69785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745845794677734 × 217)
    floor (0.745845794677734 × 131072)
    floor (97759.5)     		ty = 97759
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69785 / 97759 ti = "17/69785/97759"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69785/97759.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69785 ÷ 217
    69785 ÷ 131072     		x = 0.532417297363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97759 ÷ 217
    97759 ÷ 131072     		y = 0.745841979980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.532417297363281 × 2 - 1) × π
    0.0648345947265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.20368389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745841979980469 × 2 - 1) × π
    -0.491683959960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.54467071645707
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20368389} λ = 0.20368389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54467071645707))-π/2
    2×atan(0.213382122877343)-π/2
    2×0.210229251932144-π/2
    0.420458503864288-1.57079632675     		φ = -1.15033782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20368389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.670227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15033782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.909502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69785 KachelY 97759 0.20368389 -1.15033782 11.670227 -65.909502
    Oben rechts KachelX + 1 69786 KachelY 97759 0.20373182 -1.15033782 11.672973 -65.909502
    Unten links KachelX 69785 KachelY + 1 97760 0.20368389 -1.15035739 11.670227 -65.910623
    Unten rechts KachelX + 1 69786 KachelY + 1 97760 0.20373182 -1.15035739 11.672973 -65.910623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15033782--1.15035739) × R
    1.95699999998578e-05 × 6371000     		dl = 124.680469999094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15033782--1.15035739) × R
    1.95699999998578e-05 × 6371000     		dr = 124.680469999094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20368389-0.20373182) × cos(-1.15033782) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.40817906766695 × 6371000     		do = 124.642388706291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20368389-0.20373182) × cos(-1.15035739) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.40816120209893 × 6371000     		du = 124.636933240174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15033782)-sin(-1.15035739))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40817906766695-0.40816120209893)×R²
    abs(0.20373182-0.20368389)×1.78655680200812e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.78655680200812e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.78655680200812e-05×40589641000000     		ar = 15540.1315110919m²