Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 69761 / 72831
↖ ↑ ↗
← S 19.640001°
E 11.604309°		 ← 287.66 m → S 19.640001°
E 11.607056°		 →
↑
287.65 m
↓
↑
287.65 m
↓
S 19.642588°
E 11.604309°		 ← 287.65 m →
82 744 m²		 S 19.642588°
E 11.607056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 69761 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 72831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.532238006591797 y=0.555660247802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.532238006591797 × 217)
    floor (0.532238006591797 × 131072)
    floor (69761.5)     		tx = 69761
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555660247802734 × 217)
    floor (0.555660247802734 × 131072)
    floor (72831.5)     		ty = 72831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 69761 / 72831 ti = "17/69761/72831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/69761/72831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 69761 ÷ 217
    69761 ÷ 131072     		x = 0.532234191894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 72831 ÷ 217
    72831 ÷ 131072     		y = 0.555656433105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.532234191894531 × 2 - 1) × π
    0.0644683837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.20253340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555656433105469 × 2 - 1) × π
    -0.111312866210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.34969968272831
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.20253340} λ = 0.20253340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.34969968272831))-π/2
    2×atan(0.704899751504465)-π/2
    2×0.614006824218442-π/2
    1.22801364843688-1.57079632675     		φ = -0.34278268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.20253340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.604309°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34278268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.640001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 69761 KachelY 72831 0.20253340 -0.34278268 11.604309 -19.640001
    Oben rechts KachelX + 1 69762 KachelY 72831 0.20258134 -0.34278268 11.607056 -19.640001
    Unten links KachelX 69761 KachelY + 1 72832 0.20253340 -0.34282783 11.604309 -19.642588
    Unten rechts KachelX + 1 69762 KachelY + 1 72832 0.20258134 -0.34282783 11.607056 -19.642588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34278268--0.34282783) × R
    4.51499999999938e-05 × 6371000     		dl = 287.650649999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34278268--0.34282783) × R
    4.51499999999938e-05 × 6371000     		dr = 287.650649999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.20253340-0.20258134) × cos(-0.34278268) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.941823028846895 × 6371000     		do = 287.656995534582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.20253340-0.20258134) × cos(-0.34282783) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.941807852557362 × 6371000     		du = 287.652360305121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34278268)-sin(-0.34282783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941823028846895-0.941807852557362)×R²
    abs(0.20258134-0.20253340)×1.51762895331808e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.51762895331808e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.51762895331808e-05×40589641000000     		ar = 82744.055093304m²