Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6971 / 1843
↖ ↑ ↗
← N 79.985712°
W 26.828614°		 ← 424.87 m → N 79.985712°
W 26.806641°		 →
↑
424.95 m
↓
↑
424.95 m
↓
N 79.981890°
W 26.828614°		 ← 425.03 m →
180 581 m²		 N 79.981890°
W 26.806641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1843 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.425506591796875 y=0.112518310546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.425506591796875 × 214)
    floor (0.425506591796875 × 16384)
    floor (6971.5)     		tx = 6971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.112518310546875 × 214)
    floor (0.112518310546875 × 16384)
    floor (1843.5)     		ty = 1843
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6971 / 1843 ti = "14/6971/1843"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6971/1843.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6971 ÷ 214
    6971 ÷ 16384     		x = 0.42547607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1843 ÷ 214
    1843 ÷ 16384     		y = 0.11248779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42547607421875 × 2 - 1) × π
    -0.1490478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46824764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11248779296875 × 2 - 1) × π
    0.7750244140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.43481100550189
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46824764} λ = -0.46824764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43481100550189))-π/2
    2×atan(11.4136613903062)-π/2
    2×1.4834051793584-π/2
    2.9668103587168-1.57079632675     		φ = 1.39601403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46824764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.828614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39601403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.985712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6971 KachelY 1843 -0.46824764 1.39601403 -26.828614 79.985712
    Oben rechts KachelX + 1 6972 KachelY 1843 -0.46786414 1.39601403 -26.806641 79.985712
    Unten links KachelX 6971 KachelY + 1 1844 -0.46824764 1.39594733 -26.828614 79.981890
    Unten rechts KachelX + 1 6972 KachelY + 1 1844 -0.46786414 1.39594733 -26.806641 79.981890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39601403-1.39594733) × R
    6.66999999998641e-05 × 6371000     		dl = 424.945699999134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39601403-1.39594733) × R
    6.66999999998641e-05 × 6371000     		dr = 424.945699999134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46824764--0.46786414) × cos(1.39601403) × R
    0.000383500000000037 × 0.173893755345719 × 6371000     		do = 424.870873720496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46824764--0.46786414) × cos(1.39594733) × R
    0.000383500000000037 × 0.173959438745632 × 6371000     		du = 425.03135655931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39601403)-sin(1.39594733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.173893755345719-0.173959438745632)×R²
    abs(-0.46786414--0.46824764)×6.56833999126416e-05×R²
    0.000383500000000037×6.56833999126416e-05×6371000²
    0.000383500000000037×6.56833999126416e-05×40589641000000     		ar = 180581.149154913m²