Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 6970 / 5914
↖ ↑ ↗
← N 74.700653°
W103.425293°		 ← 322.34 m → N 74.700653°
W103.414306°		 →
↑
322.37 m
↓
↑
322.37 m
↓
N 74.697754°
W103.425293°		 ← 322.40 m →
103 925 m²		 N 74.697754°
W103.414306°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.212722778320312 y=0.180496215820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.212722778320312 × 215)
    floor (0.212722778320312 × 32768)
    floor (6970.5)     		tx = 6970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.180496215820312 × 215)
    floor (0.180496215820312 × 32768)
    floor (5914.5)     		ty = 5914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 6970 / 5914 ti = "15/6970/5914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/6970/5914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6970 ÷ 215
    6970 ÷ 32768     		x = 0.21270751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5914 ÷ 215
    5914 ÷ 32768     		y = 0.18048095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.21270751953125 × 2 - 1) × π
    -0.5745849609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.80511189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.18048095703125 × 2 - 1) × π
    0.6390380859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.00759735608795
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80511189} λ = -1.80511189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.00759735608795))-π/2
    2×atan(7.44540717782665)-π/2
    2×1.43728433930023-π/2
    2.87456867860045-1.57079632675     		φ = 1.30377235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80511189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.425293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30377235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.700653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6970 KachelY 5914 -1.80511189 1.30377235 -103.425293 74.700653
    Oben rechts KachelX + 1 6971 KachelY 5914 -1.80492014 1.30377235 -103.414306 74.700653
    Unten links KachelX 6970 KachelY + 1 5915 -1.80511189 1.30372175 -103.425293 74.697754
    Unten rechts KachelX + 1 6971 KachelY + 1 5915 -1.80492014 1.30372175 -103.414306 74.697754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30377235-1.30372175) × R
    5.06000000000117e-05 × 6371000     		dl = 322.372600000075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30377235-1.30372175) × R
    5.06000000000117e-05 × 6371000     		dr = 322.372600000075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80511189--1.80492014) × cos(1.30377235) × R
    0.000191750000000157 × 0.263862055189484 × 6371000     		do = 322.344243205403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80511189--1.80492014) × cos(1.30372175) × R
    0.000191750000000157 × 0.263910861609239 × 6371000     		du = 322.403867043428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30377235)-sin(1.30372175))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.263862055189484-0.263910861609239)×R²
    abs(-1.80492014--1.80511189)×4.88064197550209e-05×R²
    0.000191750000000157×4.88064197550209e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.88064197550209e-05×40589641000000     		ar = 103924.562345116m²