Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 697 / 1482
↖ ↑ ↗
← S 62.431074°
W 57.480469°		 ← 9 046.21 m → S 62.431074°
W 57.304687°		 →
↑
9 033.89 m
↓
↑
9 033.89 m
↓
S 62.512318°
W 57.480469°		 ← 9 021.63 m →
81 611 396 m²		 S 62.512318°
W 57.304687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.340576171875 y=0.723876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.340576171875 × 211)
    floor (0.340576171875 × 2048)
    floor (697.5)     		tx = 697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.723876953125 × 211)
    floor (0.723876953125 × 2048)
    floor (1482.5)     		ty = 1482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 697 / 1482 ti = "11/697/1482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/697/1482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 697 ÷ 211
    697 ÷ 2048     		x = 0.34033203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1482 ÷ 211
    1482 ÷ 2048     		y = 0.7236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34033203125 × 2 - 1) × π
    -0.3193359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.00322344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7236328125 × 2 - 1) × π
    -0.447265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.40512640166309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00322344} λ = -1.00322344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40512640166309))-π/2
    2×atan(0.245336043609003)-π/2
    2×0.24058426294601-π/2
    0.481168525892021-1.57079632675     		φ = -1.08962780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00322344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.480469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08962780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.431074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 697 KachelY 1482 -1.00322344 -1.08962780 -57.480469 -62.431074
    Oben rechts KachelX + 1 698 KachelY 1482 -1.00015547 -1.08962780 -57.304687 -62.431074
    Unten links KachelX 697 KachelY + 1 1483 -1.00322344 -1.09104577 -57.480469 -62.512318
    Unten rechts KachelX + 1 698 KachelY + 1 1483 -1.00015547 -1.09104577 -57.304687 -62.512318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08962780--1.09104577) × R
    0.0014179700000001 × 6371000     		dl = 9033.88687000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08962780--1.09104577) × R
    0.0014179700000001 × 6371000     		dr = 9033.88687000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00322344--1.00015547) × cos(-1.08962780) × R
    0.00306797000000003 × 0.462815337370534 × 6371000     		do = 9046.20564824604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00322344--1.00015547) × cos(-1.09104577) × R
    0.00306797000000003 × 0.461557906320937 × 6371000     		du = 9021.62785458913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08962780)-sin(-1.09104577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.462815337370534-0.461557906320937)×R²
    abs(-1.00015547--1.00322344)×0.00125743104959719×R²
    0.00306797000000003×0.00125743104959719×6371000²
    0.00306797000000003×0.00125743104959719×40589641000000     		ar = 81611395.5995635m²